Язык второго порядка
и проблемно-ориентированный подход к основаниям математики* – 1

 

В.В. Целищев

 

* Работа поддержана Российским гуманитарным научным фондом (проект № 01–03–00131).

 

Проблемно-ориентированный подход к основаниям математики предполагает, что любой вопрос должен рассматриваться с точки зрения некоторой цели. В данной статье мы рассмотрим фундаментальное понятие логического следования, которое обычно считается универсальным для всех логических языков [1]. Между тем это понятие имеет весьма различные характеристики в логике первого порядка и логике второго порядка. В определенном смысле две эти логики, или два логических языка отличаются друг от друга как раз понятием следования, свойственным каждому из языков. Глубинное различие заключается в разных целях логического исследования.

Прежде всего отметим, что имеется два понятия следования: семантическое, или модальное, и дедуктивное. Семантическое понятие следования определяется таким образом: предложение Ф есть логическое следствие множества Г предложений, если невозможно, чтобы при истинности каждого члена Г было ложным Ф. Другими словами, Ф истинно при каждой интерпретации, при которой каждый член Г истинен. Обычно такое понятие следования полагается более интуитивным и используется в начальных курсах по логике (см., например, “канонический” текст С.Клини “Математическая логика”, где теория доказательств предваряется теорией моделей). Дедуктивное понятие следования определяется следующим образом: Ф есть следствие Г, если имеется вывод Ф из посылок в Г. Теорема полноты заключается в том, что предложение Ф первого порядка есть теоретико-доказательное следствие множества Г предложений первого порядка, если и только если, Ф есть теоретико-модельное следствие Г. Таким образом, для языка первого порядка семантическое следование совпадает по объему с дедуктивным.

Именно полнота логического исчисления, которая полагается некоторым “идеалом”, является причиной отождествления двух понятий логического следования. Между тем семантическая концепция следования призвана выразить смысл, в котором теоремы некоторой математической теории представляют теорию об определенном роде объектов, – скажем, теоремы арифметики – теорию о натуральных числах. Аксиомы теории должны при этом характеризовать ту область математических объектов, которая была целью формализации. Другими словами, интерпретация формальной теории должна быть намеренной, и, больше того, все интерпретации подобного рода должны быть изоморфными, поскольку они говорят “об одном и том же”. Только так гарантируется сохранение истины, которое является целью логического следования. Что касается дедуктивного понятия следования, то оно призвано прояснить, в каком случае математики полагают тот или иной вывод “законным”, и делается это за счет выявления посылок заключения.

Соотношение двух видов логического следования, согласно Дж. Кор­корану [2] , таково: если Ф есть следствие Г в семантическом смысле, то заключение Ф “уже логически неявно присутствует” в посылках. В определенном смысле заключение будет излишним, потому что при этом не получается новой информации. Это понятие резко контрастирует с дедуктивным, потому что есть возможность того, что Ф неявно содержится в Г, даже если дедукция Ф из Г невозможна. Предположим, что доказано, что Ф есть семантическое следствие Г, но доказательство включает в себя некоторое погружение структур Г в более богатую структуру. Такая ситуация вполне обычна для математики. В подобных случаях может быть показано, что теорема есть семантическое следствие соответствующих аксиом второго порядка, но не дедуктивное следствие. В типичном случае теорема есть дедуктивное следствие этих аксиом вместе с некоторыми фактами относительно фоновой теории. Пусть е будут принципами фоновой теории, используемой для установления Ф. Тогда математик устанавливает (Г + е) „ Ф, и это показывает, что Г ë Ф, и вероятно, что Ф не оправдано на основании только лишь Г. Вероятно даже , что Г „Y Ф.

Приведенный пример показывает, что различие двух концепций логического следования тесно связано с различием логики первого порядка и логики второго порядка. Но последнее различие само по себе важно и имеет и другие корни. Действительно, при рассмотрении проблем оснований математики едва ли не самым важным обстоятельством является язык формализации содержательных математических утверждений. Речь идет о предпочтении языка первого порядка по сравнению с языками высших порядков, в частности, языка второго порядка. Стандартный взгляд по этому вопросу представлен знаменитым афоризмом В.Куайна: “Логика второго порядка является теорией множеств в овечьей шкуре” (см., например, его “Философию логики” [3] ). Апелляция к “волку в овечьей шкуре” оправданна прежде всего с точки зрения онтологических допущений: неясные онтологические интенсиональные сущности языка второго порядка менее предпочтительны, чем явные экстенсиональные онтологические допущения теории множеств. Конечно, такие предпочтения оправданны лишь в той мере, в какой справедлив другой афоризм Куайна: “Нет сущности без тождества” (английский вариант еще более афористичен: “No entity without identity”). Следует напомнить, что в “Principia Mathematica” Рассела и Уайтхеда основания математики сформулированы в языках высших порядков, а четкое разделение ролей языка первого порядка и языков высших порядков можно обнаружить работе “Основы теоретической логики” Гильберта и Аккермана в 1928 г. Часто вокруг многих философских вопросов складывается “каноническое представление”, иногда мало отвечающее реальному становлению вопроса. Поэтому желательно возвращение к истокам – либо путем чисто исторического рассмотрения, либо более тщательного анализа посылок этого представления. Именно такова ситуация с предпочтением языка первого порядка.

Окончательно важность языка первого порядка в качестве орудия построения оснований математики стала ясна после доказательства Геделем в 1930 г. теоремы полноты для логики первого порядка. Полнота и в самом деле является в высшей мере желательным свойством формальной системы, в которой формулируются содержательные истины математики. Отсутствие этого свойства у языка второго порядка подорвало претензии этого языка на то, чтобы быть базисным языком оснований математики. Сегодня стандартный взгляд заключается в том, что основания математики представлены логикой первого порядка и теорией множеств. Этот взгляд, как уже было сказано, связан со многими философскими представлениями. Одно из них опять-таки связано со стратегией Куайна постепенного увеличения онтологической тяжести утверждений в математике. Логика первого порядка не имеет экзистенциальных утверждений, а теория множеств постепенно вводит такие утверждения в математику. В “Теории множеств и ее логике” Куайн поначалу даже вводит виртуальные классы перед тем, как сделать подлинные экзистенциальные утверждения [4] .

Эти утверждения о существовании все более обширных множеств становятся все более далекими от стандартов оправдания экзистенциальных утверждений, так что сама куайновская стратегия разделения на “экзистенциальную часть” теории множеств и “неэкзистенциальную часть” логики первого порядка оказывается сомнительной. Поэтому логика второго порядка с ее экзистенциальными утверждениями интенсиональных сущностей может оказаться не менее плодотворным основанием математики. К тому же появляются весьма интересные языки, которые не так-то легко классифицировать с точки зрения дихотомии “первый порядок / второй порядок”. Так, “дружественная независимая логика”, предложенная Я.Хинтиккой в качестве плодотворного орудия построения оснований математики, обладает выразительными возможностями логики второго порядка, представляя в то же время по сути своей логику первого порядка [5] .

Таким образом, представляет интерес вопрос о том, может ли логика второго порядка служить в качестве основания математики. Вопрос этот особенно интересен в той связи, что одно из самых важных сегодня направлений в основаниях математики – структурализм – напрямую связано с логикой второго порядка, и основательность претензий структурализма на то, чтобы быть адекватной философией математики, напрямую зависит от того, является ли логика второго порядка адекватным орудием исследования оснований математики (см. по этому поводу работу С.Шапиро “Основания без обоснования” [6] ).

Прежде всего следует отметить, что различие между экстенсиональными и интенсиональными сущностями не является решающим для разделения языков на порядки. Хотя интерпретированный язык называется “второпорядковым” или “высшего порядка”, если его переменные пробегают над отношениями, пропозициональными функциями, свойствами, классами или множествами сущностей, над которыми пробегают переменные логики первого порядка, природа сущностей не имеет значения для характеристики логики второго порядка. Отличительной характеристикой порядка языка является размер области квантификации.

Язык второго порядка может быть получен добавлением к дедуктивной системе первого порядка расширения аксиом с кванторами типа [X (Ф(Х)) ® Ф(Y)) и аксиомной схемы свертывания \Х [х (Хх є Ф(х)) для каждой формулы Ф, не содержащей Х свободно. Но основное различие языков первого и второго порядков заключается в семантике. Областью переменных первого порядка могут быть натуральные числа.

В стандартной семантике логики второго порядка переменные пробегают над совокупностью всех подмножеств области. Хотя для такой семантики все доказуемые утверждения являются истинными, в ней не проходят полнота и компактность. Все бесконечные структуры категоричны. Преимуществами логики второго порядка со стандартной семантикой являются ясность, соответствие интуиции. При фиксации области квантификации переменных первого порядка понятия “все свойства” или “все подмножества”, играющие решающие роль в основаниях математики, обретают твердый смысл. По этой причине многие считают, что логика второго порядка является более подходящим кандидатом для оснований математики, чем традиционный базис – логика первого порядка плюс теория множеств. А вот сторонники логики первого порядка утверждают, что понятие переменной, пробегающей над всеми свойствами фиксированной области, в высшей степени неясно и по этой причине логика второго порядка вряд ли может считаться хорошим базисом. Для разрешения этого спора требуется рассмотрение дополнительных аргументов в пользу логики второго порядка.

Одна из главных причин спора между сторонниками логики первого порядка и логики второго порядка заключается в том, возможно ли достижение категоричности, поскольку именно это свойство является главным признаком соответствия интуиции: формальная система должна описывать объективный мир математических сущностей. Логика второго порядка категорична, но, как уже было указано, многие полагают понятие переменной над всеми свойствами формально неточным. Однако вполне возможно сделать понятие переменной над всеми свойствами формальным, поскольку возможно построение некоторой версии аксиоматической теории, достаточной для формулировки стандартной семантики логики второго порядка. В такой версии можно доказать категоричность теории и многие существенные результаты теории множеств. Но формальная метатеория, в которой получается категоричность, сама может считаться теорией первого порядка. Следовательно, в ней проходит теорема Левенгейма – Сколема о нестандартных моделях и категоричности больше нет. В пользу этого взгляда можно привести все те аргументы, которые традиционно приводятся при рассмотрении релятивизма в теории множеств, согласно которому одно и то же множество может иметь различную мощность в различных формальных системах.

Против этого сторонники логики второго порядка высказывают твердое убеждение, что метатеория, о которой идет речь, не может рассматриваться как неинтерпретированная теория с различными возможными моделями. Намеренная интерпретация этой метатеории – интуитивная семантика естественных языков, в которых формулируются содержательные истины математики. На первый план выступает область таких языков, а не понятие модели. Категоричность относится к естественному языку, а не к изоморфизму моделей в каждой интерпретации.

Ясно, что обсуждение проблем логики второго порядка в сопоставлении с аксиоматической теорией множеств сводится к тому, какая из этих теорий лучше “схватывает” интуитивные или содержательные истины математики. Релятивизм, свойственный аксиоматической теории множеств, возникает из-за того, что в ее основе лежит логика первого порядка, для которой справедлива теорема Левенгейма – Сколема. Важно иметь в виду, что релятивизм, как он имеет место у Сколема, отнюдь не направлен специально против логики второго порядка. Потому что скептицизм относительно возможностей однозначного описания математической реальности применим к более широкому кругу проблем и вызывает к жизни гораздо больший круг проблем, чем проблемы логики второго порядка. Далее мы рассмотрим некоторые проблемы теории указания и теории значения, связанные с релятивизмом, а пока ограничимся сопоставлением логики первого порядка и логики второго порядка.

Релятивист может настаивать на том, что переменные логики первого порядка являются неинтерпретированными и могут существовать как стандартные, так и нестандартные интерпретации. В этом смысле возникает вопрос, что имеется в виду под “натуральными числами”, если допустимы нестандартные интерпретации. Естественный ответ состоял бы в том, что на самом деле переменные первого порядка должны интерпретироваться интуитивно, а для более точной трактовки натуральных чисел пригодна аксиоматика Пеано в языке второго порядка, самым важным положением которой является аксиома индукции

(P0 & [x (Px ® Psx)) ® [x Px.

С точки зрения релятивиста это ничего не дает, поскольку эту аксиому второго порядка можно рассматривать как аксиомную схему первого порядка и поэтому для такой аксиоматики можно дать разные модели с отличной друг от друга кардинальностью одних и тех же множеств. Попытка выделить из этого набора моделей “минимальную”, которая бы отвечала намеренной интерпретации, проблематична. Единственный способ избежать такой проблематичности состоит в апелляции к тому факту, что указание на натуральные числа ясно и недвусмысленно и что все структуры арифметики изоморфны. Но вряд ли понятия “все свойства” или “все подмножества” удовлетворяют критерию ясности.

Таким образом, логика второго порядка не избегает релятивистских обвинений в неясности своих концепций. Но ответ на такого рода обвинения представляет собой задачу более общего плана, поскольку речь идет о релятивизме в отношении уже объектного языка.

В историческом отношении любопытна полемика Сколема с Цермело в отношении возможностей аксиоматического представления теории множеств [7]. Аксиоматизация Цермело была формализацией второго порядка, в то время как Cколем пришел к выводу о том, что роль формализации может выполнить только логика первого порядка, но со всеми вытекающими из этой стратегии неприятностями типа релятивизма в понимании концепции множества.

Среди аксиом Цермело, по замечанию Френкеля и Бар-Хиллела, наиболее характерной является аксиома выделения (Aussonderungs). Именно этой аксиомой совершается радикальный отход от точки зрения, согласно которой каждому условию F(x) соответствует некоторое множество s, такое что [x (x U s є F(x)). Известно, что эта точка зрения ведет к парадоксам, и Цермело предложил применять операцию образования множеств предметов, обладающих некоторым свойством, к уже имеющимся множествам. Цермело делает два ослабления неограниченной аксиомы свертывания: множество не может задаваться независимо, а всегда должно быть выделено как подмножество уже заданного множества; кроме того, свойство, по которому множество выделяется, должно быть определенным. Понятие определенности является одним из наиболее дискутируемых понятий в философии математики и ее основаниях. В данном случае можно, следуя Сколему, полагать, что определенность означает формулу первого порядка. Более точно, эта аксиома у Цермело имеет вид:

Всякий раз, когда пропозициональная функция Р(х) определена для всех элементов множества М, М обладает подмножеством, содержащим те элементы, которые в точности являются элементами х из М, для которых Р(х) истинно.

При этом Цермело полагал пропозициональную функцию Р(х) определенной для области d, при условии, что для каждого элемента х из d, “фундаментальные отношения на области, посредством аксиом и универсально принятых законов логики, определяют без произвола, справедливо или нет Р(х)”. Сколем, как уже было указано, сформулировал отделение как схему, как пример для каждой формулы языка первого порядка. Именно это легло в основу канонического представления.

Поскольку Сколем критиковал понятие определенности, Цермело предпочел дать ему аксиоматическую трактовку, результатом которой явилось определение в языке второго порядка: если P(g) определенна для каждой пропозициональной функции g, тогда определенны будут [f (P(f)) и \f (P(f)). Цермело полагает базисными сущностями пропозициональные функции, поскольку кванторы второго порядка пробегают над ними. Сколем же считает, что понятия универсального и экзистенциального квантора в применении к пропозициональной функции неясны, и предлагает рассматривать пропозициональные функции аксиоматически. В этом случае аксиоматика будет первого порядка, а пропозициональные функции будут играть роль индивидов.

Шапиро полагает, что спор Цермело и Сколема в конечном счете упирается в два разных понимания того, как в математику вводятся новые сущности [8]. Один способ – это постулирование сущностей, которые составляют некоторую реальность. Аксиоматика и формализация при описании этих сущностей призваны описать уже существующие объекты, и поэтому какие-то другие интерпретации аксиоматики и формализации считаются несущественными. Второй способ состоит в задании аксиом, и сущности, удовлетворяющие этим аксиомам, существуют. В этом случае вопрос заключается в том, какого рода аксиоматика и формализация используются. Если это аксиомы первого порядка, то тогда невозможно протестовать против нестандартных моделей и, естественно, невозможно выделить какую-то предпочтительную модель. Такое неявное задание сущностей приводит к неизоморфности моделей и некатегоричности теории. Если это аксиомы второго порядка, то тогда получается порочный круг, поскольку объекты “определяются” с помощью тех же самых объектов.

Таким образом, различие между логикой первого порядка и логикой второго порядка упирается в различное понимание конструирования математических объектов. Одна из версий антиреализма связывает напрямую конструирование математического объекта со значением математического термина, который призван указывать на соответствующий объект. С другой стороны, математическая практика может быть отождествлена с употреблением математического термина. Согласно идеям позднего Виттгенштейна, значение термина не может превзойти его употребления. Известная реконструкция Крипке скептического аргумента Виттгенштейна сводится к тому, что предыдущее употребление выражения не может рационально ограничить его интерпретации до единственной. Схожий скептический аргумент излагается Патнэмом в его концепции внутреннего реализма [9]. Если Виттгенштейн (и его интерпретаторы) правы, тогда значение не содержит чего-то большего по сравнению с тем, что можно получить просто в результате рационального размышления по поводу употребления выражения. И никакое число данных по поводу употребления выражения, и никакая, включая аксиоматическую, характеристика этого употребления не могут рационально ограничить число интерпретаций выражения до единственной.

Скептические аргументы в отношении значения были направлены против платонистских тенденций в теории значения, потому что противоположностью идее Виттгенштейна было бы признание того, что значение превосходит употребление. Но в этом случае значение не будет доступно рациональному критерию, который значим при употреблении выражения, а это, в свою очередь, предполагает, что значение должно быть доступно каким-то прямым образом. Современная эпистемология не признает подобного рода прямого доступа к значению, поскольку при таком доступе оно остается чисто субъективным и личным.

Как скептический вызов сколемовского толка, так и плато­нист­ский аргумент представляются неудовлетворительными. Однако нелегко найти контраргументы в случае скептического вызова. Во-первых, у разных критиков классической теории значения имеются существенные различия в аргументации, и трудно найти общие контраргументы. Во-вторых, не ясно, в какой степени скептические аргументы, являющиеся обобщением математических результатов, являются значимыми для более общего случая языка.

Однако аргументация, связанная теорией значения и теорией указания, выводит нас за пределы сравнения логики первого порядка и логики второго порядка. На самом деле, представляет интерес, в какой степени предпочтение той или иной логики мотивируется чисто математическими интересами и в какой степени это предпочтение может иметь философские мотивы.

Прежде всего следует отметить, что абстрактная постановка проблемы о том, какая логика лучше, бессмысленна с точки зрения проблемно-ориентированного подхода к основаниям математики. Надо задать вопрос о цели применения той или иной логики. Больше того, видимо, не существует единственной правильной практики такого применения. Мы имеем в зависимости от поставленной задачи неопределенное число неэквивалентных моделей неформальной математической практики.

Можно предположить, что в основе предпочтения логики первого порядка лежит цель изучения понятия дедуктивной системы. Понятие доказательства является в этом случае важнейшим, тем более что теоретико-модельное отношение следования не схватывает понятия “доказательства” или даже “доказуемый”. Тут надо четко выявить те цели и задачи, которые ставятся при исследовании математической практики. Понятие классического следования, которое подразумевается очевидным многими философами, сталкивается с трудностями.

Важнейшей характеристикой классического следования является компактность. Отношение следования компактно, если любое следствие бесконечного множества посылок есть следствие его конечного подмножества. Это свойство выглядит довольно естественным, поскольку при анализе понятия следования мы исходим из понятия вывода истинного заключения из истинных посылок. Обобщения этой идеи просты: следует допустить истинное заключение из нулевого числа посылок и бесконечное число посылок. Имея в виду математическую практику, можно обобщить идею аргумента еще раз – предположить бесконечное число посылок, поскольку любая посылка может быть удвоена за счет двойного отрицания, повторения этой операции и т.д.

Наличие у классического следования свойства компактности делает следование более управляемым. При компактности вывод значим, если и только если заключение следует из конечного числа посылок. С другой стороны, компактность представляет собой сильное ограничение на выразительные возможности формализмов. Понятие следования можно рассматривать с синтаксической точки зрения, в рамках которой следование трактуется как свойство дедуктивной системы. Желательное свойство дедуктивной системы состоит в том, чтобы доказуемые формулы были истинными. Компактность соответствует этому желательному свойству. Дедуктивная система в этом случае полна. Однако есть вывод такого рода, в котором следование может рассматриваться с семантической точки зрения. Действительно, пусть у нас имеется утверждение “для каждого n, A(n)” есть логическое следствие бесконечного множества посылок А(0), А(1), А(2),…”, где n – натуральное число. Интуитивно такой вывод оправдан, но он не обладает свойством компактности и, стало быть, не является частью классической концепции следования.

Объяснение нарушения классического следования состоит в том, что логика с компактностью была предназначена для аксиоматизации математики, т.е. для поиска конечного числа аксиом, из которых может быть выведена вся содержательная математика. Теорема Геделя о неполноте арифметики показала невозможность такой аксиоматизации. То есть стандартная модель арифметики, состоящая из чисел 1, 2, 3,…, не может быть представлена таким множеством формул, которые характеризовали бы эту модель точно. Это значит, что такое множество формул имеет различные неизоморфные модели. Таким образом, категоричность исключает компактность, но именно компактность требуется теорией доказательства. Кодификацией такого рода доказательства является логика первого порядка, а логика второго порядка не имеет свойства компактности.

Соотношение стандартной модели арифметики и нестандартных моделей таково: стандартная модель представляет исходный фрагмент каждой модели первопорядковых истин арифметики, а нестандартные модели содержат дополнительные числа, большие, чем все натуральные числа. Именно по этой причине получается w-противоречивость: А(n) может быть справедливо для всех стандартных чисел 0, 1, 2, ... и т.д. и все же не быть истинным для каждого числа в модели. Избежать подобной противоречивости можно добавлением фразы “1, 2, 3, … исчерпывают все числа”, но такое добавление не может быть выражено в терминах первого порядка [10].

Девис и Херш дают прекрасное объяснение ситуации [11]. Математика есть человеческая активность, подобно философии или конструированию компьютеров. Во всякой такой активности используется естественный язык. В то же самое время математики используют формальный язык. Можно даже сказать, что возможность изложения математического открытия на формальном языке является в определенном смысле тестом, правильно ли оно понято.

Стандартный универсум М – это конечные действительные числа. Формальный язык, на котором мы говорим о М, – это L. Любое предложение в L есть суждение о М, и оно может быть истинным или ложным. Мы называем множество истинных таких предложений К “моделью” и говорим, что М есть модель для К. Под этим мы имеем в виду, что М есть математическая структура, такая что для каждого предложения из К, которое будучи интерпретированным как указание на М, является истинным. Конечно, мы не “знаем” К в каком-то эффективном смысле; если бы мы знали это, то имели бы ответ на каждый вопрос в анализе. Тем не менее мы считаем К вполне определенным объектом, относительно которого мы можем размышлять и выводить заключения.

Существенным фактом было то, что в дополнение к М, стандартному универсуму, есть также нестандартные модели для К, т.е. имеются математические структуры М*, существенно отличные от М, и что они, тем не менее, являются моделями для К в естественном смысле термина: имеются объекты в М* и отношения между объектами в М*, такие что если символы в L переинтерпретированы для приложения к этим псевдообъектам и псевдоотношениям подходящим образом, тогда каждое предложение в К все еще истинно, хотя и имеет другое значение.

Есть прекрасная аналогия. Пусть М – множество студентов первого курса, а М* – множество из фото, представляющего квадрат два на два. Тогда истинные утверждения о студентах соответствуют истинным утверждениям о фото. Но есть больше квадратов два на два, чем студентов. Так что М* больше, чем М. Пусть “Гарри тоньше Тома”. Тогда это предложение, интерпретированное в М*, будет предложением о квадратах. Оно не истинно, если отношение “тоньше” интерпретировано стандартно. “Тоньше” должно быть переинтерпретировано как псевдоотношение между псевдостудентами. Например, можно определить “тоньше” так: квадрат Гарри тоньше квадрата Тома, если Гарри тоньше Тома. Тогда истинные утверждения о студентах будут истинными утверждениями о квадратах.

Нестандартный универсум может быть использован для нестандартного анализа. Но при этом используется теорема компактности. Она связана с теоремой полноты Геделя, которая устанавливает, что множество предложений логически непротиворечиво, если и только если предложения имеют модель, т.е. если имеется универсум, в котором они истинны.

Теорема компактности легко следует из теоремы полноты: если каждое конечное подмножество совокупности предложений L истинно в стандартном универсуме, тогда каждое конечное подмножество логически непротиворечиво. Поэтому вся совокупность предложений логически непротиворечива (так как любая дедукция может использовать только конечное число посылок). По теореме полноты имеется (нестандартный) универсум, в котором вся совокупность истинна.

Главным преимуществом языка второго порядка перед языком первого порядка является то, что арифметика второго порядка позволяет устранить нестандартные модели за счет выражения во второпорядковом языке того факта, что стандартная модель является исходным сегментом всех остальных моделей, и того, что именно в этом сегменте мы и заинтересованы. Факт этот выражается аксиомой индукции, которая, как мы уже видели, является второпорядковой. Аксиома утверждает, что любое свойство, которым обладает 0, если оно принадлежит числу n, принадлежит и числу n + 1. Если использовать для выражения этой аксиомы язык первого порядка, то появляется неясность в отношении выражения “любое свойство”. В первопорядковой версии аксиомы используются схематические буквы, пробегающие над подмножествами, что не исключает появления нестандартных моделей. А семантика языка второго порядка гарантирует, что “любое свойство” означает на самом деле любое свойство.

Другими словами, логика второго порядка более предпочтительна по той причине, что понятие следования в ней отвечает интуитивным представлениям о значимом заключении аргумента. Полнота логики первого порядка гарантирует, что правила вывода в ней гарантируют доказательство следствий первого порядка, но при этом ряд интуитивных следствий в ней не проходят.

Таким образом, мы имеем два метода исследования содержательных математических утверждений: теорию доказательства и теорию моделей. Если в исследовании превалирует теория доказательств, тогда центральной концепцией является понятие дедуктивной системы. “Логик будет настаивать на точном соответствии теоретико-модельного отношения следования и дедуктивного отношения следования”, – говорит С.Шапиро, и то, что он прав, показывает уже упомянутое “каноническое” изложение математической логики С.Клини “Математическая логика”. В трактовке как исчисления высказываний, так и исчисления предикатов сначала дается теоретико-модальное изложение, а затем – теория доказательств. Между тем при использовании формальных языков мы стремимся к прояснению вопросов онтологии и эпистемологии в математическом познании. В этом случае понятие дедуктивной системы не является центральным. Дело в том, что более важным понятием является понятие теоретико-модельной интерпретации, т.е. семантика, поскольку соотношение формального языка и интерпретации представляет соотношение языка и мира. В конечном счете, несмотря на свою специфику, математический дискурс есть все-таки дискурс о мире.

Логика первого порядка считается предпочтительной для математического дискурса по той причине, что в математике главным является доказательство. Теоретико-модельное отношение следования не “схватывает” понятия доказательства; действительно, семантическое понятие следования может быть шире дедуктивного понятия, будучи реализацией интуитивных представлений. Может создаться парадоксальное положение, когда семантическое следствие уже принятых результатов окажется синтаксически недоказуемым. Такая ситуация погрузит математический дискурс в хаос и парадоксы. По этой причине сторонники логики первого порядка, т.е. логики с полнотой, ограничивают математический дискурс доказательными утверждениями.

Математический дискурс, или математическая практика, заключается в описании “математической реальности”, намеренной интерпретации символов. Распространенным методом такого описания является аксиоматизация. Пусть система аксиом имеет ряд моделей. Если намеренная интерпретация совпадает с моделью аксиом, и если каждая модель совпадает с намеренной интерпретацией, тогда аксиоматизация считается успешной.

Вопрос заключается в том, сводится ли математический дискурс к дедукции следствий из аксиом. Если дедуктивная система полна, тогда действительно все содержательные истины будут доказуемы. Это и будет аргументом в пользу логики первого порядка. Однако Булос [12] обратил внимание на парадоксальную ситуацию с понятием логического следования в логике первого порядка. Пусть имеется аргумент I в языке первого порядка, который имеет более или менее короткий вывод I из посылок в языке второго порядка. Булос приводит такой пример. Можно дать и теоретико-модельное доказательство, что I значимо в теоретико-модельной семантике. Так как I – первого порядка и логика первого порядка полна, существует выведение заключения I из посылок в стандартной дедуктивной системе первого порядка. Булос, однако, показывает, что самое короткое выведение I имеет огромное число шагов. Ясно, что если аргумент первого порядка значим, тогда в этом можно убедиться через вывод в стандартной дедуктивной системе первого порядка. Однако только что приведенный пример говорит о том, что такой “в принципе” вывод не конструктивен. Более подходящим кандидатом на математический дискурс является открытие следствий из аксиом в рамках логики второго порядка, тем более что в рамках логики первого порядка многие теоремы содержательной математики не представляют собой следствия аксиом.

На самом деле ни та, ни другая активность не является подлинно “репрезентативной” для математики. Наиболее употребительным приемом является вложение исследуемой структуры в более богатую структуру, которая проливает свет на первую. Такой более богатой структурой может служить та же теория множеств. Так что с точки зрения претензий на большую основательность в математической практике не выигрывает ни логика первого порядка, ни логика второго порядка. Все определяется целями математического дискурса.

 

Примечания

1. Поскольку логика второго порядка сейчас не в моде, аргументацию в ее защиту следует искать у структуралистов, которые свою программу оснований математики прямо ставят в зависимость от важности для математической практики логики второго порядка. Я весьма обязан в своем изложении вопроса двум цитируемым ниже прекрасным работам структуралиста С.Шапиро. Больше того, как мне кажется, цели и задачи проблемно-ориентированного подхода к основаниям математики в значительной степени совпадают с аналогичными целями и задачами структурализма, по крайней мере в отношении понятия логического следования. При этом я не разделяю философскую позицию структурализма, и принимаю ее лишь в версии П.Бенацеррафа.

2. См.: Corcoran J. Gaps between logical theory and mathematical practice // The methodological unity of science / Ed. M.Bunge. – Dordrecht: D. Reidel. – P.23–50.

3. См.: Quine W.V.O. Philosophy of logic. – Prentice-Hall, 1970.

4. См.: Quine W.V.O. Set theory and its logic. – Cambridge UP, 1963.

5. См.: Hintikka J. Principles of mathematics revisited. – Cambridge UP, 1996.

6. См.: Shapiro S. Foundations without foundationalism: A case for second-order logic. – Oxford UP, 1991.

7. См.: Skolem T. Some remarks on axiomatized set theory, 1922 // Heijenoort J., van. From Frege to Godel. – Harvard UP, 1967. – P.290–301.

8. См.: Shapiro S. Second-order logic, foundations, and rules // Journ. of Philosophy. –  1990. – P.234–261.

9. См.: Kripke S. Wittgenstein on rules and private language. – Blackwell, N.Y., 1982; Putnam H. Models and reality // Journ. of Symbolic Logic. – 1980. – V.45, No 3. – P.464–482.

10. См.: Reed S. Thinking about logic. – Oxford UP, 1994. – P.42–48.

11. См.: Davis Ph., Hersh R. The mathematical experience. – Penguin Books, 1983. – P.247–253.

12. См.: Boolos G. The consistency of Frege’s foundations of arithmetic // On being and saying / Ed. J. Thompson. – Cambridge UP, 1987. – P.3–20.

 

                           Институт философии и права

                           СО РАН, Новосибирск

 

 

 

Tselishchev, V.V. Second-order language and problem-oriented approach to the foundations of mathematics.

The first-order logic and second-order logic are compared as a real foundations for mathematics. The notions of logical inference and valid argument are used as criteria for preference of  language. Particularly, the difference between deductive inference and semantic inference may be considered as crucial factor in developing relative conception of foundations. The usual objections to second-order logic are considered. As a result the second-order logic is declared as a tool for construction of solid foundations of mathematics.