АНТИНОМИИ КАНТОРА И РАССЕЛА И ПРОБЛЕМА ЭЛЕМЕНТНОСТИ АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВ

 

С.К. Черепанов

 

 

Формулировка

 

Г.Кан­тор об­на­ру­жил свой па­ра­докс в 1899 г. Он ис­хо­дил из то­го, что лю­бое мно­же­ст­во Х долж­но об­ла­дать не­ко­то­рой мощ­но­стью, или ко­ли­че­ст­вен­ной ха­рак­те­ри­сти­кой сво­его со­ста­ва. Пусть мощ­ность Х обо­зна­че­на че­рез X*. Мно­же­ст­во Р(Х) – это тра­ди­ци­он­ное обо­зна­че­ние мно­же­ст­ва всех под­мно­жеств Х. Кан­тор до­ка­зал, что для "Х име­ет ме­сто Х* < Р(Х)*. Пусть мно­же­ст­во всех мно­жеств обо­зна­че­но че­рез Х. Оче­вид­но, что ес­ли Х = Х, то Х* < Р(Х)*. С дру­гой сто­ро­ны, ес­ли Х – мно­же­ст­во всех мно­жеств, то оно долж­но об­ла­дать мак­си­маль­ной мощ­но­стью, т.е. Х* ³ Р(Х)*. Воз­ни­ка­ет про­ти­во­ре­чие. Мож­но пред­по­ло­жить, что Х в от­ли­чие от Х не яв­ля­ет­ся мно­же­ст­вом и не об­ла­да­ет мощ­но­стью [1]. То­гда тео­рия мно­жеств долж­на на­зы­вать­ся как-то ина­че.

Па­ра­докс Рас­се­ла (1902 г.) ос­но­ван на том, что име­ет смысл рас­смат­ри­вать мно­же­ст­ва, яв­ляю­щие­ся соб­ст­вен­ны­ми эле­мен­та­ми (Х Î Х), хо­тя при­ду­мать со­от­вет­ст­вую­щий при­мер до­воль­но труд­но, и мно­же­ст­ва, не яв­ляю­щие­ся соб­ст­вен­ны­ми эле­мен­та­ми (ХÏХ). Ес­ли рас­смот­реть мно­же­ст­во Т всех Х, не яв­ляю­щих­ся соб­ст­вен­ны­ми эле­мен­та­ми, – "Х (ХÎТ º ХÏХ), то при Х=Т по­лу­чим про­ти­во­ре­чие: ТÎТ º ТÏТ. В этом слу­чае так­же пред­ла­га­ет­ся счи­тать, что Т не мо­жет быть мно­же­ст­вом в том же смыс­ле, что и Х.

Как ви­дим, ре­ше­ния К и Р стро­ят­ся на кри­ти­ке кан­то­ров­ско­го по­ня­тия мно­же­ст­ва, ко­то­рое до­пус­ка­ет весь­ма ши­ро­кую трак­тов­ку. По-ви­ди­мо­му, уп­ре­ки та­ко­го ро­да спра­вед­ли­вы. Од­на­ко что-ли­бо кон­ст­рук­тив­ное за ни­ми, как пра­ви­ло, не сто­ит и даль­ше кон­ста­та­ции оче­вид­ных ис­тин эти раз­мыш­ле­ния не идут. Сто­рон­ни­ки по­доб­ных ре­ше­ний, к при­ме­ру, убе­ж­де­ны, что “про­бле­ма па­ра­док­сов при­во­дит в ко­неч­ном сче­те к осоз­на­нию не­из­беж­но про­ти­во­ре­чи­во­го ха­рак­те­ра всех ма­те­ма­ти­че­ских, ло­ги­че­ских или се­ман­ти­че­ских по­строе­ний, так или ина­че мо­де­ли­рую­щих все­об­щее и вос­про­из­во­дя­щих су­ще­ст­вен­ную для не­го са­мо­оп­ре­де­ляе­мость и са­мо­от­не­сен­ность… Все­об­щее, по­сколь­ку оно все­об­щее, по при­ро­де сво­ей не мо­жет об­ла­дать ка­кой-ли­бо оп­ре­де­лен­но­стью, вно­си­мой в не­го из­вне, так как в этом слу­чае оно не бы­ло бы все­об­щим” [2].

Про­тив ска­зан­но­го труд­но что-ли­бо воз­ра­зить. Толь­ко как эти сен­тен­ции при­ме­нить к па­ра­док­сам К и Р? Воз­мож­но, сле­ду­ет пред­по­ло­жить, что “мно­же­ст­ва во­об­ще” яв­ля­ют­ся чем-то все­об­щим? В та­ком слу­чае все, что су­ще­ст­ву­ет, долж­но рас­смат­ри­вать­ся как не­ко­то­рое мно­же­ст­во. Со­от­вет­ст­вен­но и про­бле­ма ре­пре­зен­та­ции мно­же­ст­вен­но­сти так­же долж­на ре­шать­ся с уче­том уни­вер­саль­но­сти мно­жеств. Ина­че го­во­ря, со­дер­жа­ние по­ня­тия “мно­же­ст­во” долж­но быть эле­мен­том его объ­е­ма (в ка­ком язы­ке, в ка­кой зна­ко­вой сис­те­ме оно ре­пре­зен­ти­ру­ет­ся, уже не важ­но, так как лю­бая за­ко­рюч­ка на бу­ма­ге есть не­ко­то­рое мно­же­ст­во, в том чис­ле сим­во­лы Х и Т как тер­ми­ны кон­крет­но­го мно­же­ст­ва вхо­дят в об­ласть оп­ре­де­ле­ния пе­ре­мен­но­го Х). Та­ким пу­тем дей­ст­ви­тель­но мож­но прий­ти к кан­то­ров­ско­му мно­же­ст­ву всех мно­жеств. Од­на­ко в этом слу­чае срав­ни­тель­но лег­ко из­ба­вить­ся от “па­ра­док­саль­но­сти все­об­ще­го” – дос­та­точ­но вве­сти ка­кую-ли­бо стра­ти­фи­ка­цию мно­же­ст­вен­но­сти. Но пер­вая же, про­стая и ес­те­ст­вен­ная, стра­ти­фи­ка­ция К (пу­тем ди­хо­то­ми­че­ско­го де­ле­ния) от­кры­ва­ет дверь па­ра­док­су Р: ан­ти­но­мич­ным ока­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во тех мно­жеств, ко­то­рые не яв­ля­ют­ся соб­ст­вен­ны­ми эле­мен­та­ми. А ведь эта мно­же­ст­вен­ность не име­ет уни­вер­саль­но­го и все­об­ще­го ха­рак­те­ра! От­сю­да за­клю­ча­ем, что рас­су­ж­де­ния о “про­ти­во­ре­чи­во­сти во­об­ще” при­ме­ни­мы в луч­шем слу­чае к К, но при­ме­ни­тель­но к Р они вы­гля­дят схо­ла­сти­че­ским тео­ре­ти­зи­ро­ва­ни­ем, ско­рее за­пу­ты­ваю­щим ре­аль­ные про­бле­мы, чем по­мо­гаю­щим их ос­мыс­ле­нию.

К край­но­стям ино­го ро­да от­но­сят­ся по­пыт­ки ря­да ис­сле­до­ва­те­лей по­ста­вить под со­мне­ние са­му воз­мож­ность аб­ст­ракт­ной трак­тов­ки мно­же­ст­ва. В ча­ст­но­сти, С.Лес­нев­ский на­стаи­вал на не­из­беж­но ан­ти­но­мич­ном ха­рак­те­ре та­ких пред­став­ле­ний, рав­но как и объ­ек­тов, пре­тен­дую­щих на по­доб­ный ста­тус.

Оп­ре­де­ляя аб­ст­ракт­но-об­щий объ­ект (ОО) как объ­ект, об­ла­даю­щий толь­ко (!) те­ми свой­ст­ва­ми, ко­то­рые яв­ля­ют­ся об­щи­ми для всех кон­крет­ных объ­ек­тов, со­от­вет­ст­вую­щих ему, С.Лес­нев­ский при­хо­дит к вы­во­ду, что ОО дол­жен од­но­вре­мен­но об­ла­дать и не об­ла­дать не­ко­то­рым свой­ст­вом. Это, од­на­ко, про­ти­во­ре­чит прин­ци­пу ис­клю­чен­но­го третье­го, ко­то­рый в “он­то­ло­ги­че­ской ре­дак­ции” гла­сит, что от­но­си­тель­но лю­бо­го свой­ст­ва не­ко­то­рый про­из­воль­ный объ­ект ли­бо об­ла­да­ет, ли­бо не об­ла­да­ет упо­мя­ну­тым свой­ст­вом.

Пусть А – свой­ст­во, об­щее для не­ко­то­рых, но не всех об­су­ж­дае­мых кон­крет­ных объ­ек­тов. То­гда, со­глас­но оп­ре­де­ле­нию, ОО не мо­жет об­ла­дать свой­ст­вом А. Это рав­но­силь­но ут­вер­жде­нию, что ОО об­ла­да­ет свой­ст­вом “не об­ла­дать свой­ст­вом А”. Од­на­ко ОО не мо­жет об­ла­дать свой­ст­вом “не об­ла­дать свой­ст­вом А”, так как это оз­на­ча­ло бы, что ка­ж­дый кон­крет­ный объ­ект об­ла­да­ет этим свой­ст­вом, что про­ти­во­ре­чит ис­ход­но­му ус­ло­вию (свой­ст­во А не пус­то). Та­ким об­ра­зом, ОО не мо­жет об­ла­дать свой­ст­вом А и не мо­жет об­ла­дать свой­ст­вом “не об­ла­дать свой­ст­вом А”. Он – ан­ти­но­мич­ный [3].

Этот при­мер лиш­ний раз под­твер­жда­ет, что про­бле­ма па­ра­док­сов за­клю­ча­ет­ся во­все не во все­общ­но­сти или са­мо­при­ме­ни­мо­сти ис­поль­зуе­мых в них по­ня­тий.

Для са­мо­го С.Лес­нев­ско­го па­ра­док­саль­ность ОО ста­ла толч­ком к от­ка­зу от тео­рий аб­ст­ракт­ных мно­жеств при раз­ра­бот­ке но­ми­на­ли­сти­че­ской мо­де­ли мно­же­ст­вен­но­сти из­ло­жен­ной в ме­рео­ло­гии и он­то­ло­гии [4]. Ра­зу­ме­ет­ся, “кре­сто­вый по­ход” про­тив аб­ст­ракт­но­сти мно­жеств не вос­при­ни­ма­ет­ся серь­ез­но, осо­бен­но в све­те об­щей тен­ден­ции к стра­ти­фи­ка­ции зна­ния. По­ле­ми­ка С.Лес­нев­ско­го с оп­по­нен­та­ми в этом све­те вы­гля­дит как спо­ры о том, на ка­кую дверь ка­кой яр­лы­чок на­кле­ить, что от­ра­жа­ет субъ­ек­тив­ные при­стра­стия спо­ря­щих и не бо­лее то­го. За­ме­тим еще, что оп­по­нен­ты С.Лес­нев­ско­го, оп­рав­ды­ваю­щие су­ще­ст­во­ва­ние об­щих объ­ек­тов, не все­гда убе­ди­тель­ны в сво­ей ар­гу­мен­та­ции. В ча­ст­но­сти, ссыл­ки на аб­ст­ракт­ность ОО вслед­ст­вие то­го, что он не мо­жет быть оп­ре­де­лен как об­ла­даю­щий свой­ст­ва­ми кон­крет­ных, под­па­даю­щих под не­го объ­ек­тов, не вы­гля­дят убе­ди­тель­ны­ми, так как в лю­бой тео­рии фи­гу­ри­ру­ют толь­ко аб­ст­ракт­ные объ­ек­ты. Про­бле­ма же диф­фе­рен­циа­ции аб­ст­ракт­ных сущ­но­стей на об­щие и осо­бен­ные ре­ша­ет­ся не ме­та­фи­зи­че­ски, а весь­ма кон­крет­но, в ка­ж­дом слу­чае по-сво­ему, с уче­том как праг­ма­ти­че­ских це­лей тео­рии, так и со­цио­куль­тур­ных тра­ди­ций.

При­ве­ден­ные при­ме­ры, на наш взгляд, дос­та­точ­ны, для то­го что­бы по­нять, что при­ми­тив­ные ва­ри­ан­ты уточ­не­ния кан­то­ров­ско­го по­ня­тия мно­же­ст­ва весь­ма про­бле­ма­тич­ны. Это за­став­ля­ет бо­лее вни­ма­тель­но при­гля­ды­вать­ся к ин­туи­ции “мно­же­ст­ва во­об­ще”, со­став­ляю­щей фун­да­мент кан­то­ров­ской тео­рии мно­жеств, и с ос­то­рож­но­стью от­но­сить­ся к мно­го­чис­лен­ным про­ек­там уточ­не­ния его ин­туи­тив­но­го со­дер­жа­ния. Как за­ме­тил С.Кли­ни, “от­вер­гать эти про­ек­ты не обя­за­тель­но, но толь­ко их нель­зя счи­тать про­сты­ми. Они ста­вят нас пе­ред про­бле­мой пе­ре­строй­ки ТМ на со­вер­шен­но из­ме­нен­ной ос­но­ве, де­та­ли ко­то­рой со­дер­жат­ся в них раз­ве что в ви­де на­ме­ка” [5].

Что­бы во­об­ще мог­ла со­сто­ять­ся тео­ре­ти­за­ция мно­же­ст­вен­но­сти, на­до иметь тео­ре­мы, “спра­вед­ли­вые для всех мно­жеств, а все мно­же­ст­ва, по кан­то­ров­ско­му оп­ре­де­ле­нию, об­ра­зу­ют мно­же­ст­во. Ес­ли это не так, то мы долж­ны ука­зать, ка­ким оп­ре­де­ле­ни­ем мно­же­ст­ва мы бу­дем поль­зо­вать­ся вза­мен, или до­пол­нить кан­то­ров­ское оп­ре­де­ле­ние не­ко­то­рым даль­ней­шим кри­те­ри­ем, ус­та­нав­ли­ваю­щим, ко­гда опи­сан­ная в его оп­ре­де­ле­нии со­во­куп­ность объ­ек­тов об­ра­зу­ет мно­же­ст­во”[6].

 

 

Что та­кое мно­же­ст­во?

 

Ос­мыс­ле­ние и про­яс­не­ние на­ших ин­туи­тив­ных пред­став­ле­ний о мно­же­ст­ве – “мно­гом, мыс­ли­мом как еди­ное”, яв­ля­ет­ся дос­та­точ­но по­пу­ляр­ным сю­же­том в ло­ги­ко-фи­ло­соф­ской и фи­ло­соф­ско-ма­те­ма­ти­че­ской ли­те­ра­ту­ре. Как пра­ви­ло, ис­сле­до­ва­те­ля­ми от­ме­ча­ют­ся мен­таль­ный ха­рак­тер мно­же­ст­ва, его ло­ги­че­ская кон­ст­руи­руе­мость. При этом при­зна­ет­ся, что “са­ма идея об­ра­зо­ва­ния мно­жеств от­ве­ча­ет объ­ек­тив­ным фак­там о ми­ре” [7]. Су­ще­ст­во­ва­ние как ре­аль­ных со­во­куп­но­стей ма­те­ри­аль­ных пред­ме­тов, так и их иде­аль­ных, мен­таль­ных мо­де­лей по­ро­ж­да­ет про­бле­му вос­при­ятия мно­же­ст­вен­но­сти, ко­то­рая не име­ет од­но­знач­но­го ре­ше­ния. Это соз­да­ет до­пол­ни­тель­ные труд­но­сти при оп­ре­де­ле­нии ста­ту­са мно­жеств и при­во­дит к взаи­мо­ис­клю­чаю­щим фи­ло­соф­ским по­зи­ци­ям пла­то­низ­ма и но­ми­на­лиз­ма.

Сто­ит от­ме­тить, что со­б­ра­ние пред­ме­тов лишь то­гда мож­но на­звать мно­же­ст­вом, ко­гда мы спо­соб­ны от­ли­чить эле­мен­ты это­го со­б­ра­ния от че­го-то ино­го. Ес­ли эле­мен­ты, в свою оче­редь, опять же яв­ля­ют­ся мно­же­ст­ва­ми, то при­дет­ся до­пус­тить, что под сло­вом “иное” сле­ду­ет по­ни­мать не­что не­мно­же­ст­вен­ное. Та­ким об­ра­зом, “фак­тор ино­го” име­ет прин­ци­пи­аль­ное зна­че­ние. Бла­го­да­ря ему объ­ек­ты счи­та­ют­ся “со­б­ран­ны­ми” и ста­но­вят­ся “фак­тор-еди­но­об­раз­ны­ми”, а “со­б­ра­ние” на­чи­на­ет от­ли­чать­ся от слу­чай­но­го конг­ло­ме­ра­та, ас­со­ции­руе­мо­го про­сто с раз­но­об­ра­зи­ем су­ще­го. От­сю­да сле­ду­ет важ­ное при­зна­ние: мно­же­ст­во всех мно­жеств не ис­чер­пы­ва­ет раз­но­об­ра­зия су­ще­го и не мо­жет пре­тен­до­вать на он­то­ло­ги­че­ский ста­тус.

Ма­те­ма­ти­че­ское мыш­ле­ние, ра­зу­ме­ет­ся, име­ет де­ло толь­ко с аб­ст­ракт­ны­ми объ­ек­та­ми, и мно­же­ст­во – это то­же аб­ст­ракт­ный объ­ект, объ­ем ко­то­ро­го не ис­чер­пы­ва­ет­ся пе­реч­нем кон­крет­ных ма­те­ри­аль­ных со­во­куп­но­стей. В этом смыс­ле мно­же­ст­во мож­но по­ни­мать как со­во­куп­ность эле­мен­тов, иден­тич­ность ко­то­рой оп­ре­де­ля­ет­ся ее чле­на­ми. Ме­ж­ду про­чим этот факт, по мне­нию В.В.Це­ли­ще­ва, от­ра­жен­ный в ак­сио­ме экс­тен­сио­наль­но­сти мно­жеств, на­во­дит на мысль о том, не яв­ля­ет­ся ли дан­ная ак­сио­ма по­про­сту ча­стью оп­ре­де­ле­ния кон­цеп­ции мно­же­ст­ва. В этом слу­чае, как за­ме­тил Д.Бу­лос, воз­ни­ка­ет ис­ку­ше­ние на­звать ак­сио­му экс­тен­сио­наль­но­сти ана­ли­ти­че­ской [8].

Воз­мож­ность рас­смат­ри­вать мно­же­ст­ва как со­во­куп­но­сти аб­ст­ракт­ных объ­ек­тов, ко­то­рые са­ми яв­ля­ют­ся аб­ст­ракт­ны­ми объ­ек­та­ми, соз­да­ет труд­но­сти при стра­ти­фи­ка­ции аб­ст­рак­ций и про­во­ци­ру­ет зло­упот­реб­ле­ние тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ной тер­ми­но­ло­ги­ей. Вслед­ст­вие это­го в ка­те­го­рию мно­жеств по­па­да­ют весь­ма эк­зо­ти­че­ские сущ­но­сти: пус­тое мно­же­ст­во, т.е. мно­же­ст­во, ко­то­ро­го нет, мно­же­ст­во-вещь, или еди­нич­ное мно­же­ст­во, а так­же раз­лич­ные вер­сии бес­ко­неч­ных со­во­куп­но­стей.

Вме­сте с тем не сле­ду­ет за­бы­вать, что не­оп­ре­де­лен­ность ис­ход­ной мно­же­ст­вен­ной ин­туи­ции, до­пус­каю­щей спектр раз­лич­ных ва­ри­ан­тов тео­ре­ти­за­ции, бы­ла про­дик­то­ва­на са­мы­ми бла­ги­ми по­бу­ж­де­ния­ми и сыг­ра­ла важ­ную роль в при­зна­нии осо­бой ро­ли тео­рии мно­жеств по от­но­ше­нию к ма­те­ма­ти­ке в це­лом. Тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ный под­ход к ма­те­ма­ти­ке ока­зал­ся пло­до­твор­ным но­ва­тор­ским ша­гом в раз­ви­тии этой нау­ки. Он по­зво­лил раз­вить осо­бую ло­ги­че­скую кон­цеп­цию це­ло­го чис­ла. Г.Фре­ге и его по­сле­до­ва­те­лям [9] уда­лось по­ка­зать, что ба­зис­ные ма­те­ма­ти­че­ские объ­ек­ты – це­лые чис­ла мо­гут рас­смат­ри­вать­ся как ха­рак­те­ри­сти­ки не­ко­то­рых со­во­куп­но­стей, так что для ло­ги­че­ско­го по­строе­ния на­ту­раль­но­го чис­ла нуж­ны толь­ко мно­же­ст­вен­ные пе­ре­мен­ные. Это да­ва­ло тео­рии мно­жеств пра­во пре­тен­до­вать на роль фун­да­мен­та всей ма­те­ма­ти­ки.

Со­от­вет­ст­вен­но кан­то­ров­ское стрем­ле­ние трак­то­вать мно­же­ст­во так ши­ро­ко, как это воз­мож­но, сде­лав его со­дер­жа­ние не­оп­ре­де­лен­ным, вы­гля­дит оп­рав­дан­ным и объ­яс­ни­мым. Оно мо­ти­ви­ро­ва­лось же­ла­ни­ем сде­лать по­ня­тие мно­же­ст­ва са­мо­дос­та­точ­ным, т.е. та­ким, ус­вое­ние ко­то­ро­го не тре­бу­ет ис­поль­зо­ва­ния иных по­ня­тий (за ис­клю­че­ни­ем оби­ход­ных, об­ще­упот­ре­би­тель­ных). В этом слу­чае “мно­же­ст­во” об­ре­та­ет ка­те­го­ри­аль­ный ста­тус, оно ста­но­вит­ся не­оп­ре­де­ляе­мой ло­ги­че­ской кон­ст­рук­ци­ей, со­дер­жа­тель­ный смысл ко­то­рой ил­лю­ст­ри­ру­ет­ся на при­ме­рах.

По­доб­ная си­туа­ция при­вле­ка­тель­на еще и тем, что соз­да­ет воз­мож­ность вклю­чить тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ные ос­но­ва­ния ма­те­ма­ти­че­ски в рус­ло са­мой ма­те­ма­ти­ки, так что от­па­да­ет не­об­хо­ди­мость вво­дить ка­кие-то до­пол­ни­тель­ные по­ня­тия и про­це­ду­ры, не при­над­ле­жа­щие к ло­ги­ко-ма­те­ма­ти­че­ско­му сло­ва­рю. Эти “бла­гие по­бу­ж­де­ния” пре­вос­ход­но раз­гля­дел Д.Гиль­берт, вы­сту­пив­ший в за­щи­ту тео­рии мно­жеств, ко­гда па­ра­док­сы по­тря­са­ли ее ос­но­вы.

Ко­вар­ность бла­гих по­бу­ж­де­ний – факт, не вхо­дя­щий в ком­пе­тен­цию фи­ло­со­фии ма­те­ма­ти­ки. Од­на­ко дос­той­но удив­ле­ния, что не­же­ла­тель­ные по­след­ст­вия, с ко­то­ры­ми в ви­де па­ра­док­сов столк­ну­лась ма­те­ма­ти­че­ская нау­ка, ста­ли об­ще­куль­тур­ным дос­тоя­ни­ем.

 

 

Ме­ж­ду Сцил­лой и Ха­риб­дой

 

Нау­чить­ся внят­но го­во­рить о “мно­же­ст­вах во­об­ще”, не при­бе­гая к вы­яс­не­нию при­ро­ды об­ра­зую­щих мно­же­ст­во эле­мен­тов, да еще и со­хра­нив при этом на­вы­ки об­ра­ще­ния с кон­крет­ны­ми со­во­куп­но­стя­ми, рав­но как и по­лу­чае­мые в этом слу­чае ре­зуль­та­ты, – за­да­ча край­не труд­ная. Она срод­ни про­хо­ж­де­нию ме­ж­ду Сцил­лой и Ха­риб­дой. Но имен­но та­кая за­да­ча стоя­ла пе­ред кан­то­ров­ской тео­ри­ей мно­жеств. Для ее ре­ше­ния тре­бо­ва­лось не про­сто при­дать по­ня­тию мно­же­ст­ва ста­тус ка­те­го­рии, не­сво­ди­мой к ка­ким-ли­бо иным по­ня­ти­ям (сде­лать его ка­те­го­ри­аль­но не­оп­ре­де­лен­ным), – не­об­хо­ди­мо бы­ло рас­про­стра­нить эту не­оп­ре­де­лен­ность на суб­страт мно­же­ст­вен­но­сти, сде­лав не­су­ще­ст­вен­ным вы­яс­не­ние его эле­мент­но­го со­ста­ва (он­то­ло­ги­че­ская не­оп­ре­де­лен­ность). Од­на­ко в этом слу­чае ста­но­вит­ся не­по­нят­ным сам прин­цип со­би­ра­ния эле­мен­тов в мно­же­ст­во со все­ми вы­те­каю­щи­ми от­сю­да по­след­ст­вия­ми. Та­ким об­ра­зом, ка­те­го­ри­аль­ная не­оп­ре­де­лен­ность мно­же­ст­ва обо­ра­чи­ва­ет­ся он­то­ло­ги­че­ской (суб­страт­ной) и ло­ги­че­ской (опе­ра­цио­наль­ной) не­оп­ре­де­лен­но­стя­ми.

Что­бы из­ба­вит­ся от не­удобств, дос­тав­ляе­мых пе­ре­чис­лен­ны­ми ви­да­ми не­оп­ре­де­лен­но­сти, про­ще все­го вве­сти со­гла­ше­ние о том, что эле­мен­та­ми мно­жеств долж­ны быть опять же мно­же­ст­ва, а един­ст­вен­ным пред­ста­ви­те­лем не­мно­же­ст­вен­ных форм су­ще­го (коль ско­ро при­зна­ет­ся их су­ще­ст­во­ва­ние) счи­тать пус­тое мно­же­ст­во Æ. На ос­но­ве по­доб­но­го со­гла­ше­ния, пре­ду­смат­ри­ваю­ще­го фак­ти­че­скую суб­стан­цио­на­ли­за­цию мно­же­ст­вен­но­сти как та­ко­вой, стро­ит­ся, в ча­ст­но­сти, сис­те­ма ZF и иду­щие от нее ак­сио­ма­ти­ки [10].

 

 

Про­бле­ма эле­мент­но­сти аб­ст­ракт­ных мно­жеств

 

Ре­ше­ние па­ра­док­са К. Упо­мя­ну­тое вы­ше со­гла­ше­ние, пред­по­ла­гаю­щее рас­смот­ре­ние в ка­че­ст­ве эле­мен­тов мно­жеств опять же ка­ких-то мно­жеств, обо­ра­чи­ва­ет­ся, как из­вест­но, па­ра­док­сом Кан­то­ра. Прин­ци­пи­аль­но важ­но от­ме­тить, что па­ра­докс К во­все не дис­кре­ди­ти­ру­ет воз­мож­ность рас­смат­ри­вать аб­ст­ракт­ные мно­же­ст­ва как соб­ст­вен­ные эле­мен­ты. По­ка не из­вест­но, ра­ди че­го это де­ла­ет­ся, бес­по­лез­но кри­ти­ко­вать или от­вер­гать эту воз­мож­ность. Ско­рее сле­ду­ет ее при­вет­ст­во­вать, так как в ней на­хо­дит от­ра­же­ние ка­те­го­ри­аль­ная са­мо­дос­та­точ­ность по­ня­тия мно­же­ст­ва, вслед­ст­вие че­го тео­рия мно­жеств обос­но­ван­но пре­тен­ду­ет на роль фун­да­мен­та ма­те­ма­ти­ки.

Дру­гое де­ло, ес­ли мы пы­та­ем­ся опе­ри­ро­вать аб­ст­ракт­ны­ми мно­же­ст­ва­ми (в ча­ст­но­сти, мно­же­ст­вом всех мно­жеств) по стан­дар­там об­ра­ще­ния с со­во­куп­но­стя­ми кон­крет­ных объ­ек­тов, в при­ро­де ко­то­рых идея «со­би­ра­ния» от­нюдь не за­ло­же­на. По­доб­ные объ­ек­ты, удер­жи­ваю­щие свою ка­че­ст­вен­ную спе­ци­фи­ку, мож­но груп­пи­ро­вать в раз­лич­ные со­во­куп­но­сти, фик­си­ро­вать по­ряд­ко­вые и ко­ли­че­ст­вен­ные свой­ст­ва со­от­вет­ст­вую­щих со­во­куп­но­стей и т.д. Имен­но для них спра­вед­лив те­зис R, гла­ся­щий, что раз­но­об­ра­зие сис­тем объ­ек­тов пре­вос­хо­дит раз­но­об­ра­зие са­мих объ­ек­тов, на ко­то­ром ба­зи­ру­ют­ся по­ня­тие мно­же­ст­ва-сте­пе­ни и весь мощ­но­ст­ной по­ря­док.

Про­ти­во­ре­чие, свя­зан­ное с па­ра­док­сом К, сви­де­тель­ст­ву­ет о том, что опыт об­ра­ще­ния с кон­крет­ны­ми со­во­куп­но­стя­ми нель­зя ав­то­ма­ти­че­ски пе­ре­но­сить на аб­ст­ракт­ные мно­же­ст­ва. Но ка­кие по­прав­ки сле­ду­ет вне­сти? Мо­жет быть, за­пре­тить мно­же­ст­ву «пу­тать­ся» сре­ди сво­их эле­мен­тов, так как это пре­пят­ст­ву­ет по­эле­мент­но­му срав­не­нию раз­лич­ных мно­жеств (ес­ли та­ко­вые су­ще­ст­ву­ют!) и за­труд­ня­ет вве­де­ние мощ­но­ст­ных оп­ре­де­лен­но­стей? Од­на­ко са­мо по се­бе раз­гра­ни­че­ние слу­ча­ев «эле­мент­но­го» и «мно­же­ст­вен­но­го» упот­реб­ле­ния мно­жеств, рав­но как и за­пре­ще­ние рас­смат­ри­вать мно­же­ст­во сре­ди его соб­ст­вен­ных эле­мен­тов, ни­че­го не да­ет. Точ­нее, да­ет лишь но­вый, бо­лее силь­ный ва­ри­ант па­ра­док­саль­но­сти – ан­ти­но­мию Р. Оче­вид­но, что ре­ше­ние па­ра­док­са К на­до ис­кать в иной плос­ко­сти.

Что­бы по­лу­чить воз­мож­ность рас­про­стра­нить тео­ре­му Кан­то­ра о по­ряд­ке мощ­но­стей, спра­вед­ли­вую для кон­крет­ных со­во­куп­но­стей, на аб­ст­ракт­ные мно­же­ст­ва, бу­дем рас­су­ж­дать сле­дую­щим об­ра­зом. Ес­ли при­ро­да эле­мен­тов аб­ст­ракт­ных мно­жеств нам не­из­вест­на, то ни­что не ме­ша­ет при­пи­сать не­оп­ре­де­лен­но­му эле­мент­но­му со­ста­ву аб­ст­ракт­но­го мно­же­ст­ва не­оп­ре­де­лен­ную ко­ли­че­ст­вен­ную ха­рак­те­ри­сти­ку – Н. По­ла­га­ем, что для "nÎN H+n=n+H=H и H·0=0·H=0. Спа­се­ние тео­ре­мы Кан­то­ра тре­бу­ет ис­клю­че­ния Æ из чис­ла эле­мен­тов мно­же­ст­ва К: ведь Æ – это мно­же­ст­во, ко­то­ро­го нет [11]. Ра­зу­ме­ет­ся, Æ мо­жет чис­лить­ся в спи­ске под­мно­жеств лю­бо­го уже вве­ден­но­го мно­же­ст­ва, так что КÌ2К. Ис­клю­чая Æ из чис­ла «кон­сти­ту­энт» У, мы ис­клю­ча­ем воз­мож­ность ото­жде­ст­в­ле­ния не­оп­ре­де­лен­но­сти “он­то­ло­ги­че­ской со­став­ляю­щей” мно­жеств с “пус­то­той”, что не­яв­но до­пус­ка­лось при кон­ст­руи­ро­ва­нии мно­жеств ме­то­дом ите­ра­ции из “пус­то­ты”.

Та­ким об­ра­зом, ре­ше­ние па­ра­док­са К сво­дит­ся к кон­ста­та­ции ба­наль­ной ис­ти­ны: мно­же­ст­во, да­же бу­ду­чи аб­ст­ракт­ной кон­ст­рук­ци­ей, не мо­жет мыс­лить­ся вне сво­их эле­мен­тов. Воз­мож­ность быть соб­ст­вен­ным эле­мен­том – ча­ст­ный слу­чай этой ис­ти­ны.

Не про­ти­во­ре­чит ли ис­клю­че­ние Æ из У ин­туи­ции мно­же­ст­ва всех мно­жеств? Нет, не про­ти­во­ре­чит. Ведь пус­тое мно­же­ст­во – это не фик­са­ция от­сут­ст­вия кон­крет­ных эле­мен­тов или кон­крет­но­го мно­же­ст­ва. Пус­тое мно­же­ст­во вы­пол­ня­ет функ­цию от­ри­ца­ния про­из­воль­но­го мно­же­ст­ва, что, оче­вид­но, не­со­вмес­ти­мо с фик­са­ци­ей всех мно­жеств. К то­му же К не пред­по­ла­га­ет трак­тов­ку от­сут­ст­вия мно­же­ст­ва в ка­че­ст­ве не­ко­то­ро­го, ина­че са­мо К бу­дет про­ти­во­ре­чи­ем, т.е. бу­дет мно­же­ст­вом су­ще­ст­вую­щее-не­су­ще­ст­вую­щих мно­жеств, что рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти круг­лых квад­ра­тов.

Ре­ше­ние па­ра­док­са Р. Па­ра­докс Р “про­дол­жа­ет” про­бле­ма­ти­ку аб­ст­ракт­ной мно­же­ст­вен­но­сти. Его ре­ше­ние до­пол­ня­ет и кон­кре­ти­зи­ру­ет ин­фор­ма­цию, из­вле­чен­ную из ре­ше­ния па­ра­док­са К, рас­кры­вая су­ще­ст­вен­ные чер­ты свой­ст­ва “эле­мент­но­сти” при­ме­ни­тель­но к аб­ст­ракт­ным мно­же­ст­вам.

В чем же со­сто­ит упо­мя­ну­тая вы­ше “до­пол­ни­тель­ность”? Она со­сто­ит в том, что рас­се­лов­ский па­ра­докс фик­си­ру­ет фак­том сво­его воз­ник­но­ве­ния но­вую, от­лич­ную от пре­ды­ду­ще­го слу­чая воз­мож­ность ис­тол­ко­ва­ния он­то­ло­ги­че­ской (суб­страт­ной) не­оп­ре­де­лен­но­сти мно­жеств. Ес­ли пре­ды­ду­щий слу­чай, при­вед­ший к ан­ти­но­мии К, со­сто­ял в до­пу­ще­нии воз­мож­но­сти пол­но­го иг­но­ри­ро­ва­ния са­мо­го по­ня­тия “эле­мент­но­сти”, вслед­ст­вие че­го эле­мен­та­ми мно­жеств опять же бы­ли не­ко­то­рые мно­же­ст­ва, то те­перь си­туа­ция ме­ня­ет­ся: су­ще­ст­во­ва­ние про­бле­мы при­зна­ет­ся. Бо­лее то­го, в Р мы име­ем де­ло с по­пыт­кой при­дать свой­ст­ву “эле­мент­но­сти” воз­мож­ность не толь­ко мно­же­ст­вен­ной, но и не­мно­же­ст­вен­ной трак­тов­ки, до­пус­тив тем са­мым не­од­но­род­ность суб­стра­та аб­ст­ракт­ной мно­же­ст­вен­но­сти.

По­доб­ная трак­тов­ка “эле­мент­но­сти” вле­чет за со­бой диф­фе­рен­циа­цию са­мих мно­жеств. Ста­но­вит­ся не­об­хо­ди­мым иметь в ви­ду раз­лич­ные ти­пы мно­же­ст­вен­но­сти. Фак­ти­че­ски имен­но эта си­туа­ция и обыг­ры­ва­ет­ся в Р. Та­ким об­ра­зом, с од­ной сто­ро­ны, не­до­пус­ти­мо иг­но­ри­ро­ва­ние про­блем эле­мент­но­сти, ко­то­рое мо­жет обер­нуть­ся воз­мож­но­стью рав­но­чис­лен­но­сти эле­мен­тов и под­мно­жеств, т.е. ан­ти­но­ми­ей К. С дру­гой сто­ро­ны, учет не­од­но­род­но­сти “эле­мент­ной сре­ды” нель­зя вес­ти в фор­мах от­ри­цаю­щих эту не­од­но­род­ность. Ины­ми сло­ва­ми, раз­лич­ные ти­пы мно­же­ст­вен­но­сти нель­зя экс­пли­ци­ро­вать еди­ным мно­же­ст­вом, иг­но­ри­руя тем са­мым в ак­те вы­ра­же­ния со­дер­жа­ние вы­ра­жае­мо­го.

Обо­зна­чим мно­же­ст­во Рас­се­ла сим­во­лом Т. По­ло­жим Т={Xi | XiÏ Xi}. При­сут­ст­вие ниж­не­го ин­дек­са i – су­ще­ст­вен­ный мо­мент все­го под­хо­да! Что­бы вы­ра­зить ра­нее оз­ву­чен­ную мысль, что Р про­дол­жа­ет и до­пол­ня­ет К (а не по­вто­ря­ет его), не­об­хо­ди­мо по­тре­бо­вать, что­бы вы­пол­ня­лось ус­ло­вие i>1. Ина­че го­во­ря, не­об­хо­ди­мо спе­ци­аль­но ак­цен­ти­ро­вать вни­ма­ние на том, что обыч­но про­хо­дит ми­мо соз­на­ния ис­сле­до­ва­те­лей, хо­тя и при­сут­ст­ву­ет в яв­ном ви­де в фор­му­ли­ров­ке рас­се­лов­ско­го па­ра­док­са, – на фак­те су­ще­ст­во­ва­ния раз­лич­ных мно­жеств, удов­ле­тво­ряю­щих ус­ло­вию “Ï се­бе”. Нет смыс­ла фи­ло­соф­ст­во­вать о при­ро­де это­го фак­та, – при лю­бой ин­тер­пре­та­ции он при­над­ле­жит к на­шей кон­цеп­туа­ли­зи­ро­ван­ной ре­аль­но­сти. Важ­нее оце­нить его эв­ри­сти­че­ский по­тен­ци­ал и ис­поль­зо­вать при раз­ре­ше­нии па­ра­док­са Р.

Итак мы ис­хо­дим из то­го, что со­во­куп­но­стей, удов­ле­тво­ряю­щих ус­ло­вию “Ï се­бе”, мно­го, т.е. боль­ше 1. Что в этом осо­бен­но­го? Осо­бен­ное за­клю­ча­ет­ся в том, что в са­мом при­зна­нии то­го, что эле­мен­ты раз­лич­ных со­во­куп­но­стей нель­зя со­брать в еди­ное мно­же­ст­во, пред­ста­вив его в ви­де ли­ней­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти сле­дую­щих друг за дру­гом мно­жеств ли­бо про­сто в ви­де дис­крет­но­го на­бо­ра от­дель­ных со­во­куп­но­стей, ни од­на из ко­то­рых не про­дол­жа­ет дру­гую, при­сут­ст­ву­ет на­мек на ка­че­ст­вен­ную или ти­по­вую не­оп­ре­де­лен­ность со­во­куп­но­стей. А это зна­чит, что идея аб­ст­ракт­ной мно­же­ст­вен­но­сти не­сво­ди­ма к об­ра­зу по­сле­до­ва­тель­но­сти (в ка­кой бы то ни бы­ло фор­ме, ина­че сра­зу же всплы­ва­ют па­ра­док­сы Бу­ра­ли – Фор­ти и Ри­ша­ра – Бер­ри).

Раз­ли­чие со­став­ляю­щих Т мно­жеств ин­тер­пре­ти­ру­ет­ся стан­дарт­ным об­ра­зом – че­рез ис­поль­зо­ва­ние кон­тра­по­зи­ции прин­ци­па объ­ем­но­сти, или экс­тен­сио­наль­но­сти Э. Ины­ми сло­ва­ми, ес­ли чле­ны Т – раз­лич­ные мно­же­ст­ва, то в ка­ж­дом чле­не Т есть хо­тя бы один эле­мент, ко­то­ро­го нет в дру­гих чле­нах Т (раз­ли­чие мно­жеств не мо­жет фик­си­ро­вать­ся по от­сут­ст­вию в них ка­ких-то эле­мен­тов, так что ес­ли Xi от­сут­ст­ву­ет в Xi , то это не оз­на­ча­ет, что най­дет­ся Xj и Xi ÎXj ).

По­ло­жим по­ка­зы­вать эле­мент, спе­ци­фи­ци­рую­щий со­от­вет­ст­вую­щий член Т, т.е. по­зво­ляю­щий от­ли­чить i-й член Т от j-го чле­на Т, ве­щью. Не бу­дем дис­ку­ти­ро­вать о со­дер­жа­нии дан­но­го по­ня­тия. Ог­ра­ни­чим­ся лишь кон­ста­та­ци­ей, что здесь мы име­ем де­ло с не­мно­же­ст­вен­ной трак­тов­кой эле­мент­но­сти, о чем упо­ми­на­лось вы­ше.  Не­мно­же­ст­вен­ная при­ро­да эле­мент­но­сти су­ще­ст­вен­на уже тем, что не по­зво­ля­ет за­цик­ли­вать­ся при вы­яс­не­нии от­ли­чия мно­жеств друг от дру­га. Ес­ли бы эле­мент, от­ли­чаю­щий мно­же­ст­во Xi от мно­же­ст­ва Xj, был мно­же­ст­вом, то опять воз­ни­ка­ла бы про­бле­ма вы­яс­не­ния от­ли­чия это­го мно­же­ст­ва от дру­гих и т.д., так что мы не смог­ли бы га­ран­ти­ро­вать, что Т со­сто­ит бо­лее чем из од­но­го мно­же­ст­ва.

Итак, в ка­ж­дом из чле­нов Т, при­зна­вае­мых раз­лич­ны­ми со­во­куп­но­стя­ми, есть хо­тя бы од­на вещь в ка­че­ст­ве эле­мен­та, спе­ци­фи­ци­рую­ще­го дан­ный член Т. Те­перь от нас не тре­бу­ет­ся ни­че­го боль­ше­го, кро­ме спо­соб­но­сти не сме­ши­вать вещь с мно­же­ст­вом (еди­ное це­лое с мно­гим). Для это­го дос­та­точ­но по­тре­бо­вать ис­клю­че­ния из уни­вер­су­ма ис­ход­ных мно­жеств (объ­е­ма аб­ст­ракт­ной мно­же­ст­вен­но­сти) од­но­эле­мент­но­го мно­же­ст­ва {I}, ко­то­рое по­зво­ля­ет на­зы­вать вещь I мно­же­ст­вом (пред­по­ла­га­ет­ся, что в уни­вер­су­ме мно­жеств У в этом слу­чае ос­та­ют­ся в ка­че­ст­ве объ­ек­тов толь­ко мно­же­ст­ва, а ве­щи мо­гут быть лишь эле­мен­та­ми мно­жеств, что и сви­де­тель­ст­ву­ет о том, что не­об­хо­ди­мые ус­ло­вия соз­да­ны и сме­ше­ния не­оп­ре­де­лен­ной ко­ли­че­ст­вен­но­сти “Н” с ка­че­ст­вен­ной оп­ре­де­лен­но­стью, оли­це­тво­ряе­мой “I”, про­ис­хо­дить не долж­но).

По­сле это­го сре­ди чле­нов Т уже ав­то­ма­ти­че­ски не мо­жет ока­зать­ся мно­же­ст­ва, со­стоя­ще­го из од­ной ве­щи. Та­ким об­ра­зом, чле­ны Т – нор­маль­ные со­во­куп­но­сти ве­щей, и ни од­на по­доб­ная со­во­куп­ность, не яв­ля­ясь ве­щью, не мо­жет быть соб­ст­вен­ным эле­мен­том. Со­от­вет­ст­вен­но Т от­ли­ча­ет­ся от лю­бо­го сво­его чле­на, а по­то­му не мо­жет ока­зать­ся в их со­б­ра­нии.

Про­де­лан­ный ана­лиз по­зво­ля­ет сфор­му­ли­ро­вать сле­дую­щую лем­му.

 

Лем­ма. Пусть Т со­б­ра­ние мно­жеств из У, от­лич­ное от К. Ес­ли Т за­да­ет­ся ус­ло­ви­ем «не быть соб­ст­вен­ным эле­мен­том» (т.е. Т={Хi | XiÏXi}, i>1), то Т не яв­ля­ет­ся соб­ст­вен­ным эле­мен­том ТÏТ.

 

Мы при­ве­дем до­ка­за­тель­ст­во этой лем­мы, ко­то­рое важ­но в пла­не про­яс­не­ния и сис­те­ма­ти­за­ции ин­туи­ции. В до­ка­за­тель­ст­ве ис­поль­зу­ют­ся прин­цип аб­ст­рак­ции А, прин­цип объ­ем­но­сти Э и прин­цип раз­но­об­ра­зия R.

 

До­ка­за­тель­ст­во. По ус­ло­вию лем­мы Т со­сто­ит из раз­лич­ных мно­жеств. Зна­чит, в ка­ж­дом из чле­нов Т есть хо­тя бы один эле­мент, не вхо­дя­щий в дру­гие чле­ны Т. Рас­смот­рим воз­мож­ные ва­ри­ан­ты эле­мент­ной струк­ту­ры чле­нов Т:

1) чис­то мно­же­ст­вен­ный ва­ри­ант (все эле­мен­ты Xi – мно­же­ст­ва);

2) сме­шан­ный ва­ри­ант (од­ни чле­ны Т со­сто­ят из мно­жеств, дру­гие из не­мно­жеств);

3) про­ме­жу­точ­ный ва­ри­ант (не­ко­то­рые эле­мен­ты Xi – мно­же­ст­ва, не­ко­то­рые – не­мно­же­ст­ва);

4) чис­то не­мно­же­ст­вен­ный ва­ри­ант (все эле­мен­ты Xi – не­мно­же­ст­ва).

Для слу­чая 1 не­воз­мож­но га­ран­ти­ро­вать су­ще­ст­во­ва­ние раз­лич­ных мно­жеств в Т, о чем уже го­во­ри­лось вы­ше: не имея эта­ло­на срав­ни­мо­сти эле­мен­тов (Æ, тра­ди­ци­он­но вы­сту­паю­щее в ро­ли по­доб­но­го эта­ло­на, ис­клю­че­но из У при ре­ше­нии К), нель­зя су­дить об эле­мент­ном со­ста­ве мно­жеств. По­это­му для про­из­воль­но­го чле­на Т нель­зя ука­зать эле­мент, от­ли­чаю­щий его от дру­гих ги­по­те­ти­че­ских чле­нов Т. Вся­кое ука­за­ние, бу­ду­чи фик­са­ци­ей не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва, в свою оче­редь, тре­бо­ва­ло бы но­во­го ука­за­ния уже от­но­си­тель­но от­ли­чия дан­но­го мно­же­ст­ва от дру­гих и т.д., ос­та­ва­ясь не­за­вер­шен­ным. Об этом уже го­во­ри­лось вы­ше.

Та­ким об­ра­зом, при чис­то мно­же­ст­вен­ной трак­тов­ке чле­нов Т нель­зя ут­вер­ждать, что Т со­сто­ит бо­лее чем из од­но­го мно­же­ст­ва. За­ме­тим, что без до­пол­ни­тель­ных со­гла­ше­ний не­воз­мож­но ут­вер­ждать, что «Xi ÏXi» вле­чет $ Xj из Т и Xi ÎXj. Со­от­вет­ст­вен­но дан­ный слу­чай под­ле­жит от­бра­ков­ке («спа­сать» ус­ло­вие i >1 це­ной от­ка­за от прин­ци­па А се­бе до­ро­же).

Слу­чай 2 от­бра­ко­вы­ва­ет­ся из-за воз­мож­но­го на­ру­ше­ния прин­ци­пов А и О. В са­мом де­ле, сме­шан­ный ва­ри­ант пред­по­ла­га­ет су­ще­ст­во­ва­ние двух раз­лич­ных об­ра­зов Т: Т1 – со­б­ра­ния всех мно­жеств Xi1 и T2 – со­б­ра­ния всех не­мно­жеств Xi2 (эле­мен­ты Xi2 ра­нее на­зва­ны ве­ща­ми), рав­но­объ­ем­ность ко­то­рых (Т1=Т2) ни­от­ку­да не сле­ду­ет, ибо про­ти­во­ре­чит прин­ци­пу R.

Из двух ос­тав­ших­ся ва­ри­ан­тов ин­те­рес пред­став­ля­ет толь­ко слу­чай 4. «Про­ме­жу­точ­ный» слу­чай 3 яв­ля­ет­ся лишь «кон­сер­ва­тив­ным рас­ши­ре­ни­ем» по­след­не­го, ре­пре­зен­ти­рую­щим ин­туи­цию вто­рич­но­сти мно­жеств от­но­си­тель­но ве­щей. Чле­ны Т в ва­ри­ан­те 4 яв­ля­ют­ся кон­крет­ны­ми со­во­куп­но­стя­ми – мно­же­ст­ва­ми книг, букв, чи­сел и т.п., т.е. все­го, что ин­туи­тив­но под­ра­зу­ме­ва­ет­ся на­ми, ко­гда за­хо­дит речь о раз­лич­ных мно­же­ст­вах.

Оче­вид­но, что свой­ст­во “Xi ÏXi” вы­пол­ня­ет­ся в этом слу­чае ав­то­ма­ти­че­ски, так как ни од­но мно­же­ст­во ве­щей по оп­ре­де­ле­нию не мо­жет быть ве­щью. Та­ким об­ра­зом, Т ÏТ, по­сколь­ку Т, бу­ду­чи по со­ста­ву «чис­тым» мно­же­ст­вом, не мо­жет быть од­ним из сво­их чле­нов, со­стоя­щих из не­мно­жеств (ве­щей). По этой же при­чи­не Т ÏТ, ес­ли чле­ны Т об­ра­зу­ют­ся сме­ше­ни­ем мно­жеств и ве­щей (слу­чай 3). До­ка­за­тель­ст­во за­вер­ше­но.

 

*   *   *

Пред­ло­жен­ное ре­ше­ние па­ра­док­са Р, так же как и ра­нее по­лу­чен­ное ре­ше­ние па­ра­док­са К, уточ­ня­ет смысл по­ня­тия аб­ст­ракт­ной мно­же­ст­вен­но­сти, ис­клю­чая из объ­е­ма по­след­не­го “мно­же­ст­во без эле­мен­тов” (Æ) и “эле­мен­ты без мно­жеств” (ве­щи). Уст­ра­не­ние ве­щей из кон­тек­ста опе­ри­ро­ва­ния аб­ст­ракт­ной мно­же­ст­вен­но­стью по­зво­ля­ет из­бе­гать край­но­стей но­ми­на­ли­ст­ской трак­тов­ки “мно­же­ст­ва во­об­ще” как со­во­куп­но­сти кон­крет­ных объ­ек­тов. Ра­зу­ме­ет­ся, при ис­клю­че­нии ве­щей из кон­тек­ста мно­жеств мы не ут­ра­чи­ва­ем спо­соб­но­сти от­ли­чать по­ня­тие эле­мен­та от по­ня­тия мно­же­ст­ва. Сле­ду­ет лишь иметь в ви­ду, что опе­ри­ро­ва­ние аб­ст­ракт­ной мно­же­ст­вен­но­стью ав­то­ма­ти­че­ски при­во­дит к столь же аб­ст­ракт­ной трак­тов­ке эле­мент­но­сти. В этом смыс­ле по­ня­тие “эле­мент мно­же­ст­ва” ста­но­вит­ся ло­ги­че­ски не­рас­чле­ни­мым и не­ана­ли­зи­руе­мым, так что “при­ро­да” эле­мент­но­сти ис­клю­ча­ет­ся из рас­смот­ре­ния.

На­пол­не­ние по­ня­тия мно­жеств кон­крет­ным со­дер­жа­ни­ем, т.е. раз­вер­ты­ва­ние тео­рии мно­жеств, пред­по­ла­га­ет ов­ла­де­ние по­ня­тия­ми мощ­но­сти (чис­ла) и по­ряд­ка. Ес­ли пред­по­ла­гать, что мощ­ность не тре­бу­ет сче­та, а тре­бу­ет лишь спо­соб­но­сти раз­ли­чать эк­ви­ва­лент­ные и не­эк­ви­ва­лент­ные со­во­куп­но­сти (т.е. не­ко­то­ро­го ка­че­ст­вен­но­го ре­сур­са), то при­хо­дит­ся до­пус­тить, что дан­ные по­ня­тия – ло­ги­че­ские, фор­маль­ные. Сле­до­ва­тель­но, ро­ж­де­ние ко­ли­че­ст­ва про­ис­хо­дит че­рез при­ме­не­ние к мно­же­ст­вам тех­но­ло­гии дву­знач­но­го, т.е. ис­тин­но­ст­но­го, оце­ни­ва­ния. Оче­вид­но, что это тре­бу­ет диф­фе­рен­циа­ции са­мой ис­тин­но­сти: раз­лич­ные вы­ра­же­ния ис­тин­но­го долж­ны об­рес­ти оп­ре­де­лен­ную ме­ру – ме­ру ин­фор­ма­тив­но­сти, что пред­по­ла­га­ет вве­де­ние со­от­вет­ст­вую­щей се­ман­ти­ки для ис­тин­но­ст­ных про­по­зи­ций [12].

 

При­ме­ча­ния

 

1. См.: Ма­дер В.В. Вве­де­ние в ме­то­до­ло­гию ма­те­ма­ти­ки. – М., 1995. – С. 49.

2. Цех­ми­ст­ро Д. Диа­лек­ти­ка мно­же­ст­вен­но­го и еди­нич­но­го. – М., 1972. – С.

3. См.: Кюнг Г. Он­то­ло­гия и ло­ги­че­ский ана­лиз язы­ка. – М., 1999. – С. 131.

4. См.: Volenski Y. Filozoficzna szkola lwowsko-warszawska. – Warszawa, 1985.

5. Кли­ни С. Вве­де­ние в ме­та­ма­те­ма­ти­ку. – М., 1957. – С. 42.

6. Там же. – С. 42–43.

7. Це­ли­щев В.В. Фи­ло­со­фия ма­те­ма­ти­ки. – Но­во­си­бирск, 2001. – С. 64.

8. Там же. – С. 75.

9. См.: Фре­ге Г. Ло­ги­че­ские ис­сле­до­ва­ния. – М., 1999; Гуд­стейн Р. Ма­те­ма­ти­че­ская ло­ги­ка. – М., 1961.

10. См.: Френ­кель А., Бар-Хил­лел Й. Ос­но­ва­ния тео­рии мно­жеств. – М., 1968.

11. См.: Пе­ре­вер­зев В.П. Се­ман­ти­ка тео­рии мно­жеств // Фи­ло­соф­ские ос­но­ва­ния на­уч­ной тео­рии. – Но­во­си­бирск, 1985.

12. Под­роб­нее см.: Че­ре­па­нов С.К. Фи­ло­со­фия не­оп­ре­де­лен­но­сти. Ч.I: Не­оп­ре­де­ле­ность и па­ра­док­сы. – Но­во­си­бирск, 2004.

 

 

Институт философии и права

СО РАН, г. Новосибирск

 

Cherepanov, S.K. Kantor's and Russel's antinomies and the problem of entity nature of abstract sets.

The paper analyzes the problem of entity in naive Kantor’s set theory. The author shows that the notion of an abstract set presupposes an abstract understanding of entity. It makes impossible to think of a set without entities which leads to Kantor’s antinomy, or to think of an entity without sets which leads to Russell’s antinomy.