В.В. Целищев

Неопределенность в самой точной из наук:
континуум-гипотеза и аксиома конструируемости^*

^* Исследования, нашедшие отражения в данной статье, поддержаны Российским гуманитарным научным фондом (грант № 01–03–00131).

В философии математики при обсуждении важнейших вопросов роль «лакмусовой бумажки» играют два утверждения: континуум-гипотеза Кантора и аксиома конструируемости Геделя. Оценка статуса этих утверждений, имеющих кардинальное значение не только для теории множеств, является предметом данной статьи.

Континуум-гипотеза

Теория Кантора, решив огромную часть проблем, связанных с понимаем бесконечности, вместе с тем поставила ряд других, которые до сих пор находятся в центре внимания философов и математиков. Такая ситуация является довольно типичной для науки, поскольку каждая новая теория ставит новые проблемы, требующие решения. Философская проблема тут состоит в том, что эти новые проблемы могут оказаться либо псевдопроблемами, либо неразрешимыми. Такая ситуация может возникнуть из-за того, что выразительные средства новой теории слишком богаты для постановки вопросов, но недостаточны для их разрешения. Относится ли все вышесказанное к континуум-гипотезе, трудно сказать, поскольку она имеет громкую историю и в определенном смысле взывает к параллели с неевклидовой геометрией.

Задача определения меры континуума, т.е. определения мощности множества точек на линии, может быть поставлена в терминах кардинальных чисел и ординальных чисел. Как будет указано далее, два вида чисел были введены Кантором независимым образом, и поэтому такая постановка вопроса вполне допустима с точки зрения логики. С одной стороны, мы имеем иерархию кардинальных чисел – א₀, א₁, … . Число точек на линии равно 2^א0. То есть это число больше множества с мощностью א₀. Естественно было бы предположить, что раз вслед за א₀ идет א₁, то число точек на линии равно א₁, т.е. 2^א0 = א_1. Это утверждение, которое действительно сделал Кантор, называется континуум-гипотезой. Почему эта гипотеза была столь важной для теории Кантора?

Более общая постановка вопроса о соотношении шкалы алефов и мощности континуума состоит в обнаружении того, какой из алефов представляет число точек на прямой линии. Кантор посчитал, что это א₁. Эквивалентное утверждение состоит в следующем: любое бесконечное подмножество континуума имеет мощность либо множества целых чисел, либо всего континуума [1]. Происхождение этого утверждения также понятно из предположения Кантора о том, что система алефов есть не что иное, как система всех трансфинитных кардинальных чисел. А это значит, что мощность континуума должна быть среди системы алефов [2].

Что собой представляет система алефов? Как известно, множество всех трансфинитных чисел никогда не может быть полностью понято, будучи, по мнению Кантора, Абсолютом в религиозно-метафизическом смысле. Именно по этой причине парадоксы теории множеств, которые были известны уже самому Кантору, не беспокоили его, он полагал непротиворечивость своей теории установленным фактом. Полная последовательность трансфинитных чисел существует как абсолютная сущность в неизменном и непостижимом уме Бога. Но перед лицом того, что называется теперь парадоксом Кантора и что описано выше, Кантор вынужден ограничиться только так называемыми непротиворечивыми множествами. При этом он надеялся, что континуум-гипотеза не будет пустой комбинацией бессмысленных символов. Континуум, будучи вполне определенным и самозамкнутым множеством элементов, должен быть также непротиворечивым множеством и, таким образом, должен быть эквивалентным по мощности некоторому трансфинитному алефу. В системе этих предположений недоставало последнего шага, а именно, доказательства 2^א0 = א₁.

Именно поэтому некоторые математики называли утверждение Кантора о том, что континуум равен א₁, «основной догмой Кантора». Как известно, идеи Кантора встретили резкое сопротивление со стороны большинства современных ему математиков. Превосходной иллюстрацией этого является драматический эпизод, связанный с «основной догмой Кантора». «Основная догма» заслуживала самого тщательного внимания, о чем свидетельствует то обстоятельство, что Д.Гильберт, выступая с докладом на Втором международном конгрессе по математике, который состоялся в Париже во время Всемирной выставки в 1900 г., дал перечень основных нерешенных проблем в математике, которые предстоит решать в ХХ в., и этот список возглавляла континуум-гипотеза Кантора.

На Третьем международном конгрессе по математике, состоявшемся в Гейдельберге в 1904 г., Кантору бросил вызов Ю.Кениг из Будапешта. В его докладе было показано, что мощность континуума Кантора вообще не есть мощность алефов. Больше того, Кениг показал, что континуум не может быть вполне упорядочен, а это подрывало «вторую догму» Кантора, что любое множество может быть вполне упорядочено. Кантор был просто в шоке от того, что две главные фундаментальные доктрины трансфинитной теории множеств были почти подкошены. Даже местные газеты были полны сообщений о сенсационном открытии Кенига, а герцог Бадена попросил Ф.Клейна объяснить ему суть проблемы. Однако через 24 часа ситуация изменилась. В своем доказательстве Кениг применил так называемую теорему Бернштейна, и хотя Кениг имел среди своих коллег репутацию человека чрезвычайно надежного в доказательствах, в использовании этой теоремы он допустил ошибку, которая была обнаружена Э.Цермело.

В течение ряда лет Кантор пытался доказать свою гипотезу, но не преуспел в этом. Однако исследования на этом пути привели к примечательным результатам, из которых наиболее интересным оказалось выделение аксиомы выбора, вокруг которой математики до сих пор ведут бурные споры. Как отмечает К.Гедель, до сих пор так и не установлена мощность континуума, в частности не определена даже верхняя граница (какой бы большой она ни была) мощности континуума [3]. С другой стороны, известны многие интересные следствия континуум-гипотезы, а также многие эквивалентные ей утверждения.

Как отмечает Гедель, трудности в доказательстве континуум-гипотезы на первый взгляд кажутся удивительными. Поскольку речь идет о «вычислении» 2^א0, возникает предположение, что все упирается в «таблицу умножения» кардинальных чисел. Однако произведение трансфинитных чисел не может быть оценено с точки зрения нахождения верхней границы результата умножения. Забегая вперед, скажем. что континуум-гипотеза оказалась неразрешимым утверждением. Этот примечательный факт доказан К.Геделем и Дж.Коэном. Континуум-гипотеза неразрешима в том смысле, что при условии непротиворечивости аксиоматической теории множеств Цермело – Френкеля добавление к ней континуум-гипотезы не приводит к противоречию, так же как не приводит к противоречию и добавление к этой системе отрицания континуум-гипотезы. В некотором смысле в такой ситуации мы имеем две теории множеств, и последняя возможность называется неканторовской теорией множеств.

Поскольку континуум-гипотеза связана со многими интересными результатами, дискуссии о том, надо ли ее принять или отвергнуть, ведутся с привлечением «правдоподобных» аргументов, а именно: как соотносится континуум-гипотеза с другими аксиомами теории множеств, а также с различными фактами в теоретико-множественных исследованиях. В настоящее время ситуация с континуум-гипотезой может быть охарактеризована рядом положений, среди которых интерес для философов представляют следующие. Во-первых, нынешние математики в целом не разделяют убеждения Кантора в правильности континуум-гипотезы. Во-вторых, континуум-гипотеза следует из аксиом Цермело – Френкеля плюс аксиома конструируемости Геделя (V = L). Но многие исследователи считают последнюю аксиому слишком ограничительной, и поэтому сомнения в ее отношении бросают тень на континуум-гипотезу. В-третьих, те, кто не верит в правильность континуум-гипотезы, полагают, что континуум имеет очень большое кардинальное число, большее, чем א₂, – такая оценка высказывалась Геделем. (В этой связи можно упомянуть анекдотичный случай с Н.Лузиным, который на одном из семинаров, после долгих безуспешных попыток решить проблему континуума, заявил, что он, наконец, знает, какова мощность континуума, – это א₇! Этот анекдот говорит о том, какой шутливый произвол возможен в суждениях математиков при отсутствии более или менее четкого понимания природы континуума.) Одна из работ Д.Мартина может быть интерпретирована так, что континуум имеет мощность א₃.

Результат независимости континуум-гипотезы ставит вопрос о том, вообще имеет ли это утверждение истинностное значение. В пользу таких сомнений может быть приведено два соображения: одно – философское, другое – математическое. Философское соображение было высказано в начале этого раздела, когда говорилось, что слишком богатые выразительные средства, созданные для решения одной задачи, могут привести к формулировке вопросов, на которые нет ответа [4]. Такой подход к пониманию природы континуум-гипотезы во многом перекликается с мнением Геделя: «Однако эта негативная позиция… никоим образом не является результатом тщательного рассмотрения оснований математики, а является результатом лишь определенной философской позиции в отношении природы математики» [5].

Что касается математического соображения, то тут следует отметить, что неразрешимость континуум-гипотезы в системе Цермело – Френкеля еще не есть окончательное суждение о наличии у гипотезы истинностного значения. В конце концов, аксиоматическая система Цермело – Френкеля не является привилегированной, и впоследствии могут появиться также другие аксиомы. В частности, Дж. Коэн указывал, что континуум как невероятно большое множество может быть задан четкой новой аксиомой и такое множество не может быть получено поэтапным процессом конструирования (который гарантируется аксиомами Цермело – Френкеля).

В конечном счете все упирается в то, какая философская позиция принимается математиком. С точки зрения платониста, который рассматривает математические объекты как существующие независимо от человеческих ментальных конструкций, континуум-гипотеза либо истинна, либо ложна. Формалист же ограничится результатом независимости континуум-гипотезы, хотя ему придется столкнуться с проблемой интерпретации этого странного результата. Сами математики, будучи по большей части формалистами, предпочитают в «официальных» разговорах не упоминать об «истинности» или «ложности» континуум-гипотезы.

Подобная дискуссия поднимает более общие вопросы о том, имеют ли многие проблемы в математике определенное истинностное значение. Это касается «философской совести» математиков, и, поскольку философские позиции могут варьироваться, ситуация может быть в высшей степени вариативной. Финитист доверяет суждениям только в отношении целых чисел, в то время как платонист доверяет суждениям о трансфинитных числах.

Между двумя этими крайностями есть множество позиций, которые хорошо видны из следующего опыта, проведенного с исследователями – специалистами в области теории множеств [6]. Были предложены десять утверждений и пять вариантов ответа на них. Утверждения были таковы: 1) 2+2 = 4; 2) последняя теорема Ферма (тогда она еще не была доказана); 3) аксиомы Пеано непротиворечивы; 4) аксиомы Цермело – Френкеля непротиворечивы; 5) основные теоремы анализа; 6) гипотеза Римана; 7) аксиома выбора; 8) континуум-гипотеза; 9) существуют несчетные предельные кардиналы; 10) существуют измеримые кардиналы. Ответы были таковы: 1) истинно; 2) ложно; 3) либо истинно, либо ложно, но неизвестно, что именно; 4) ни истинно, ни ложно; 5) либо (ложно или истинно, но неизвестно, что именно), либо (ни истинно, ни ложно), но неизвестно, что именно. Только два человека из опрошенных были настоящими платонистами, и их ответы ограничивались первыми тремя вариантами. Это подрывает убеждение в том, что по большей части математики верят в объективность изучаемого ими мира. Автор книги «Основания конструктивного анализа» Э.Бишоп сделал в этой связи известное замечание: «Математика принадлежит человеку, а не Богу. Нас не интересуют свойства целых положительных чисел, которые не имеют дескриптивного значения для человека как существа, ограниченного в своих возможностях. Когда человек доказывает существование целого положительного числа, он должен знать, как найти его. Если у Бога есть своя математика, которая требует разработки, оставьте эту задачу Ему» [7].

Аксиома конструируемости

Среди аксиом теории множеств классическим случаем «спорной» аксиомы является аксиома конструирования – axiom of constructability (обычно в литературе называемая аксиомой конструктивности). Сначала Гедель, введший в обиход эту аксиому, посчитал ее истинной, но затем изменил свою точку зрения. Прежде всего, нужно рассмотреть мотивы введения аксиомы. Одним из достижений Геделя было доказательство того, что утверждение континуум-гипотезы может быть присоединено к некоторой ограниченной версии теории множеств без появления противоречия в результирующей системе (1938 г.). Другими словами, если такое противоречие и существует, оно уже есть в ограниченной теории множеств.

В 1963 г. Дж. Коэн доказал, что присоединение отрицания континуум-гипотезы к ограниченной теории множеств не приводит к противоречию. Доказанная независимость континуум-гипотезы от стандартной теории множеств немедленно вызвала в памяти аналогию с евклидовой и неевклидовой геометриями. Известно, что непротиворечивость неевклидовой геометрии доказывается путем построения ее модели в евклидовой геометрии, которая предполагается непротиворечивой. Это так называемая относительная непротиворечивость. Евклидова сфера является моделью для неевклидовой плоскости. В этом случае одна теория обосновывается в терминах другой, более элементарной, теории. Таким образом, при исследовании статуса континуум-гипотезы требуется построение модели.

Идея Геделя состояла в том, чтобы построить модель для ограниченной теории множеств (стандартной теории без аксиомы выбора) и доказать, что в этой модели аксиома выбора и континуум-гипотеза являются теоремами. Использование аксиом ограниченной теории дает сначала существование по крайней мере одного множества, затем существование бесконечной последовательности конечных множеств, затем существование бесконечного множества, затем существование бесконечной последовательности еще больших бесконечных множеств и т.д. Такая процедура обеспечивает существование класса множеств, который последовательными шагами конструируется из более простых множеств. Полученные подобным образом множества Гедель называет конструируемыми множествами, и их существование гарантируется аксиомами ограниченной теории множеств. После этого Гедель показывает, что в области конструируемых множеств могут быть доказаны аксиома выбора и континуум-гипотеза. Таким образом, континуум-гипотеза доказана, но при условии, что принимается аксиома о существовании только конструируемых множеств. Вопрос состоит в том, оправданна ли эта аксиома.

Вопрос об интуитивной ясности таких аксиом теории множеств, как аксиома конструируемости, отпадает сразу. Например, немедленно возникает подозрение, что для признания некоторой совокупности множеством вряд ли необходимо настаивать на том, что множество должно быть конструируемо согласно некоторой формуле. Универсум множеств, который конструируется по подобного рода формуле, универсум, сотворенный по рецепту Геделя, обозначается через L. Универсум множеств, полученный применением принципа рефлексивности, обозначается через V. Проведенное Геделем доказательство континуум-гипотезы требует аксиомы конструируемости V = L. Сам Гедель определил ситуацию следующим образом: «Имеется два совершенно различным образом определенных класса объектов, которые удовлетворяют всем аксиомам теории множеств. Один класс состоит из множеств, определенных в некоторой манере свойствами своих элементов (L), другой – из множеств в смысле произвольных совокупностей независимо от того, как они определены (V). А теперь, до того, как будет установлено, какие объекты подлежат счету и на основании какого одно-однозначного соответствия, едва ли возможно определить их число» [8].

В более точном представлении результат Геделя выглядит так. Если ZFC (система Цермело – Френкеля с аксиомой выбора) непротиворечива, тогда непротиворечивой является система ZFC + V = L. Поскольку V = L влечет за собой континуум-гипотезу (CH), постольку ZFC + CH непротиворечива. Поэтому в системе ZFC нельзя доказать отрицание CH. Но все эти доказанные факты ничего не говорят нам об истинности V = L.

Так стоит ли или нет принимать эту аксиому? Среди ее несомненных преимуществ – доказательство континуум-гипотезы. Но с другой стороны, может статься, что гипотеза несет в себе слишком много ограничений, а сама континуум-гипотеза будет доказана в другой системе аксиом. Действительно, «хотя аксиомы ZFC не могут доказать CH, нет ничего священного в этих аксиомах, и можно будет найти другие аксиомы, которые будут более ясными относительно нашего понятия множества, и которые установят CH» [9].

Сомнения относительно пригодности системы аксиом, принятой в качестве стандартной, Гедель переносит и на саму континуум-гипотезу. По его мнению, «некоторые факты, (неизвестные во времена Кантора) указывают на то, что канторовская догадка может оказаться неверной» [10]. Правда, сомнения эти не вполне обоснованны, поскольку Гедель ссылается не столько на факты, сколько на интуицию. Эти интуитивные соображения не принимаются всеми за окончательный вердикт. Так, Д.Мартин замечает: «Гедель приводит несколько фактов в качестве свидетельств против CH. Он перечисляет некоторое число следствий континуум-гипотезы, которые полагает интуитивно неправдоподобными. Эти следствия утверждают, что существует каждое тонкое подмножество действительной прямой кардинальности континуума. Гедель говорит, что такие утверждения противоречат интуиции в другом смысле, нежели противоречие в интуиции относительно существования кривой Пеано. Хотя нельзя легкомысленно относиться к интуиции Геделя, трудно понять, почему ситуация отлична от ситуации с кривой Пеано, и кое-кому из нас трудно понять даже то, почему некоторые приводимые Геделем примеры противоречат интуиции» [11].

Большая часть исследователей, вслед за Геделем, в настоящее время не верят в аксиому конструируемости. Самой весомой причиной такого неверия является то, что эта аксиома слишком ограничительна. Так, Д.Скотт свидетельствует: «Как бы они ни были прекрасны, геделевы так называемые конструируемые множества являются специальными сущностями, почти минимальными в выполнении формальных аксиом в языке первого порядка. Они просто не схватывают понятие множества в общем (они и не предполагают этого)» [12]. Другое свидетельство: «Ключевой аргумент против принятия V = L состоит в том, что аксиома конструируемости неправильно ограничивает понятие произвольного множества» [13].

Таким образом, основные затруднения с принятием аксиомы конструируемости состоят в том, что она требует, чтобы каждое множество было определимо совершенно однородным путем. Это противоречит интуиции понятия множества. Больше того, как и в случае с континуум-гипотезой, аксиома конструируемости подвергает реалистическое сознание математика новым испытаниям. Дело в том, что с точки зрения реализма эта аксиома либо истинна, либо ложна, и явно недостаточно простой фиксации факта, что ZFC + V = L и ZFC + V ¹ L равно приемлемы, потому что оба они не противоречат ZFC.

Если внутриматематические критерии принятия аксиомы не позволяют прийти к определенному вердикту относительно ее истинности, следует прибегнуть к «внешним» критериям. П.Мэдди полагает, что таким внешним критерием могут явиться рассмотрения, связанные со сменой парадигм в математике. Правда, она при этом не прибегает к терминологии Т.Куна и вместо термина «парадигма» употребляет термин «методологическая максима», а во всем остальном картина та же. Развитие науки отвечает следующей парадигме (максиме): 1) сильная и эффективная методологическая максима формулируется обобщением успешной научной практики; 2) постепенно накапливаются аномалии; 3) возникает новая альтернативная максима, которая вытесняет старую. Вся эта механика призвана объяснить ситуацию с V = L. Таким образом, альтернативой реализму в математике является натурализм, который весьма близок к куновской философии науки.

Итак, математическая максима, о которой идет речь, – это требование, чтобы все математические объекты были определимы строго однородным путем. Исторически дискуссии по поводу этой максимы, точнее, ее становление, связано с понятием функции. Декарт различал «геометрические» кривые, которые определяются уравнениями, и «механические» кривые, для которых это невозможно. Рождение максимы связано с убеждением, что внимание математика должно быть сосредоточено лишь на кривых первого рода. Эйлер был более точен и говорил о функциях, не имеющих аналитического представления. Фурье, показав, что любую функцию можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда, укрепил максиму. Одна из аномалий, связанная с этой максимой, в явном виде была выражена Риманом. Он привел огромное число необычных функций, которые не могут быть представлены рядами Фурье. И именно такие функции играют важную роль в обосновании анализа. Последующее развитие понятия функции как произвольного соответствия привело к другой аномалии, состоявшей в том, что имеются такие функции, которые невозможно определить. Как оказалось, в основе такого представления лежит аксиома выбора, утверждающая существование неспецифицированного множества. Таким образом, максиме, согласно которой всякая функция определима, противостоит в результате накопления аномалий максима, согласно которой понятие функции связано с комбинаторными представлениями.

Несложно установить связь аксиомы конструируемости с двумя максимами. Аксиома утверждает, что множества определимы в однородной, более точной, предикативной манере. Таким образом, V = L связана со старой максимой определимости функции, в то время как отрицание аксиомы связано с новой комбинаторной максимой. Мэдди резюмирует, что «глубокое и распространенное сопротивление добавлению V = L в качестве новой аксиомы кажется рациональным» [14].

Однако споры вокруг аксиомы конструируемости вряд ли столь же тесно сопряжены со сменой одной методологической максимы другой максимой, как это имеет место в случае смены одной парадигмы другой парадигмой в эмпирических науках. Параллели в данном случае не отвечают видам связи, которые имеют с философией математика и, скажем, физика. Аномалии в физике связаны прежде всего с экспериментальными данными, чего не может быть в математике. Апелляция к более общему понятию практики, предполагающему, что мысленные эксперименты заменяют собой реальные эксперименты, вряд ли поможет прояснению ситуации с такими вещами, как принятие или отвержение новой аксиомы. В конечном счете в случае математики все ограничивается «общими подозрениями». «Сторонники комбинаторной максимы, – пишет П.Мэдди, – допускают, что до 60‑х годов V = L была достаточно гибким инструментом для того, чтобы справиться со всеми аномалиями для предыдущей версии максимы определимости, и поэтому можно было непротиворечиво предполагать, что все комбинаторно определенные множества окажутся на некотором уровне конструкциями L, но дальнейшее развитие исследований приводит к подозрению, что возникнут новые аномалии и что принятие V = L ограничит плодотворные исследования. Я предлагаю эту линию исследования как правдоподобную реконструкцию случая против V = L, которая лежит в основе общего возражения против «ограничительности» аксиомы» [15].

Теория множеств и реальность

Апелляция к параллелям между теорией множеств и неевклидовой геометрией для прояснения соотношения теории множеств и реальности вряд ли может быть оправданной. Дело в том, что неевлидова геометрия имеет важные физические приложения, в то время как теория множеств может в одном случае рассматриваться как «идеальные элементы» в смысле Гильберта, а в другом случае – как теория о мире внечувственных объектов математики. Все зависит от философских установок. Для реалиста (или лучше сказать – платониста) доказательство неразрешимости континуум-гипотезы не является поводом для глубоких философских спекуляций формалистского толка: «…Доказательство неразрешимости континуум-гипотезы Кантора из принятых аксиом теории множеств (в противоположность, например, доказательству трансцендентности числа p) никоим образом не является решением проблемы. … Теоретико-множественные концепции и теоремы описывают вполне определенную реальность, в которой догадка Кантора должна быть либо истинной, либо ложной. Отсюда следует, что неразрешимость континуум-гипотезы в рамках системы аксиом означает, что данные аксиомы не содержат полного описания этой реальности. Такая вера никоим образом не является химерической» [16].

Кроме онтологической веры в существование реальности, описываемой теорией множеств, важны еще и эпистемологические соображения, которые не позволяют развить аналогию между неевклидовой геометрией и неканторовской теорией множеств до такой степени, при которой эта аналогия представляет по-настоящему философский интерес. В этом смысле опять-таки чрезвычайно важно мнение самого Геделя:

«Высказывались соображения, что если континуум-гипотеза Кантора окажется неразрешимой в рамках принятых аксиом теории множеств, то вопрос о ее истнности теряет смысл точно так же, как для математиков бессмыслен вопрос об истинности пятого постулата Евклида после доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии. Я хочу подчеркнуть, что ситуация в теории множеств весьма отлична от ситуации в геометрии, как с математической, так и эпистемологической точки зрения. …Существует поразительная асимметрия, с точки зрения математики, между системой, в которой утверждается [аксиома о существовании недостижимых чисел], и системой, в которой она отрицается (та же асимметрия также встречается на более низких уровнях теории множеств, где непротиворечивость соответствующих аксиом менее подвержена сомнениям скептиков…)

Что касается эпистемологической ситуации, то тут следует сказать, что доказательство неразрешимости приводит к тому, что вопрос об истинности аксиомы утрачивает значимость только в том случае, если система аксиом интерпретируется как гипотетико-дедуктивная система. Другими словами, если значения примитивных терминов остаются неопределенными. В геометрии, например, вопрос о том, является ли пятый постулат Евклида истинным, сохраняет свое значение только в том случае, если примитивные термины имеют определенный смысл, а именно, содержат указание на поведение твердых тел, лучей света и т.д. Подобная ситуация имеет место и в теории множеств, и различие состоит лишь в том, что в геометрии значения берутся из физики, а не из математической интуиции, и поэтому вопрос выходит за рамки математики. С другой стороны, объекты трансфинитной теории множеств … не принадлежат к физическому миру и даже их косвенная связь с физическим опытом весьма слаба (главным образом благодаря тому факту, что теоретико-множественные концепции играют лишь малую роль в современной физике)» [17].

С другой стороны, к формализму философов математики подталкивает сама природа аксиоматизации. Аксиоматика теории множеств позволяет «рассосать» фундаментальную философскую проблему относительно природы математики. В аксиоматической теории множеств противоположность платонистской и конструктивистской позиций практически невидима. Если математика, как полагает платонист, мыслится как открытие уже существующего универсума множеств, тогда аксиомы прямо утверждают существование множества, удовлетворяющего определенным условиям. Если же математика, как полагает концептуалист, является человеческим изобретением, тогда аксиомы утверждают способ порождения из одних заданных множеств других множеств. Математика в этом смысле представляет собой структуру, в которой непротиворечиво демонстрируется существование множества. Другими словами, аксиомы позволяют так ограничить понятие множества, чтобы избежать парадоксов независимо от взгляда на природу математики.

Рациональность и аксиома конструирования

Формулирование аксиом теории множеств в языке первого порядка приводит, согласно теореме Левенгейма – Сколема, к нестандартным моделям. Наличие ненамеренных интерпретаций может означать две вещи: неопределенность в указании на объекты, а также неопределенность истинностных значений утверждений теории. До сих пор обсуждалась первая возможность, а теперь мы переходим к обсуждению второй. «Если я прав, тогда относительность теоретико-множественных понятий распространяется на относительность истинностных значений утверждения V = L (то же для аксиомы выбора и континуум-гипотезы)» [18].

Для понимания ситуации следует рассмотреть пример из теории множеств. Речь идет об аксиоме конструируемости Геделя "V = L". Современная теория множеств гласит, что V = L независима от системы аксиом Цермело – Френкеля плюс аксиома выбора (ZFC), т.е. что ZFC + V = L и ZFC + V ¹ L непротиворечивы. Отсюда если намеренная модель теории множеств фиксируется только аксиомами ZFC и если на самом деле имеется такая модель, тогда имеются намеренная модель, в которой V = L истинна, и такая намеренная модель, в которой V = L ложна. Утверждение "V = L" является независимым от остальных аксиом утверждением и поэтому может рассматриваться как результат теоретических ограничений, в частности как результат постулирования. Гедель предположил, или постулировал, что оно является истинным. В отношении постулируемых утверждений (их можно рассматривать как постулаты значения в смысле Карнапа) всегда возникает вопрос о том, как эти постулируемые предложения соотносятся с реальностью. Другими словами, возникает вопрос: а истинно ли это предложение в реальности?

Сам Гедель в конце концов принял точку зрения, согласно которой такое утверждение в реальности ложно, исходя из своей интуиции. Патнэм задается вопросом: хотя эту интуицию Геделя разделяют многие математики, имеет ли она смысл? (Надо заметить, что система, состоящая из утверждения о ложности "V = L" плюс теория множеств, непротиворечива, если непротиворечива сама теория множеств.) Какой смысл можно придать утверждению, что это утверждение ложно, кроме как апелляции к интуиции?

Имеет смысл утверждать, что ложность "V = L" "в реальности" может означать, что модель, в которой "V = L" справедливо, не будет намеренной моделью. Если, как уже было сказано, намеренная модель получается за счет теоретических ограничений, а "V = L" удовлетворяет таким ограничениям, тогда нам придется признать, что "V ¹ L" не следует из теоретических ограничений. Это означает, что истинностное значение утверждения "V = L" подвержено относительности, о которой говорит Сколем. Это же относится к таким утверждениям, как аксиома выбора и континуум-гипотеза.

Относительность подобного рода порождает серьезнейшие вопросы, поскольку трудно понять, почему такие утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, не имеют определенного истинностного значения. Они сформулированы с учетом всех требований рациональности, и, если все-таки принять позицию относительности в отношении подобных утверждений, тень сомнения упадет и на само понятие рациональности. Это будет означать, что на некотором этапе развития математики мы можем сформулировать на первый взгляд рациональные утверждения, которые таковыми не окажутся при более тщательном анализе.

Вопрос можно переформулировать таким образом: если мы не знаем истинностного значения, скажем, аксиомы выбора и оно не может быть определено путем установления конвенции на этот счет (конвенции суть часть теоретических ограничений), тогда принятие аксиомы поднимает вопрос о рациональности. Х.Патнэм приводит следующий пример. Пусть некоторая внеземная цивилизация имеет такую математику, в которой аксиома выбора отвергается. С точки зрения земной математики, принимающей эту аксиому, внеземляне, очевидно, делают ошибку и, очевидно, их математика иррациональна. Этого слишком сильного заключения можно избежать, если не считать, что аксиома выбора не является частью нашей рациональности. Но если она таковой вряд ли является, тогда придется все-таки признать относительность теоретико-множественных понятий в духе Сколема. Это означает, что не существует одной выделенной рационально приемлемой теории множеств, и в этом смысле принятие любого решения относительно истинностного значения аксиомы выбора или континуум-гипотезы есть акт иррациональный.

Примечания

1. Gödel K. What is Cantor’s continuum problem? // Philosophy of Mathematics / Ed. by H.Putnam, P.Benacerraf. – Cambridge Univ. Press, 1983.

2. Dauben J. George Cantor. – Princeton Univ. Press, 1979. – P. 244.

3. См.: Gödel K. What is Cantor’s continuum problem?

4. Данная точка зрения высказывается Ю.Л.Ершовым (см.: Проблемно-ориентированный подход к науке / Под ред. В.В.Целищев. – Новосибирск: Наука, 2001).

5. Gödel K. What is Cantor’s continuum problem? – P. 262.

6. См.: Velleman D. Internet FOM. Letter of 28 March 1991.

7. Bishop E. Foundations of constructive analysis. – N.Y.: McGraw-Hill, 1967. – P. 14.

8. Gödel K. What Is Cantor’s Continuum Problem? – P. 265, 266.

9. Martin D. Hilbert‘s first problem: The continuum hypothesis // Proceedings of Symposia in Pure mathematics. – 1976. – V. 28. – P. 84.

10. Gödel K. What is Cantor’s continuum problem? – P. 266, 267.

11. Martin D. Hilbert‘s first problem… – P. 87.

12. Scott D. [Foreword] // Bell I. Bolean – valued models and independence proofs in set theory. – Oxford Univ. Press, 1977. – P. xii.

13. Moschovakis J. Descriptive set theory. – Amsterdam, 1980. – P. 610.

14. Maddy P. Naturalism in mathematics. – Oxford Univ. Press, 1997. – P. 84.

15. Ibid.

16. Gödel K. What Is Cantor’s Continuum Problem? – P. 264.

17. Ibid. – Р. 270, 271.

18. Ibid. – Р. 267.

Институт философии и права

СО РАН, г.Новосибирск

TselishchevV.V. Indeterminacy of the most exact science: continuum-hypothese and axiom of constructability.

The status of continuum-hypothese and axiom of constructability is considered in connection with of reasons for introduciry set-theoretical axioms. It is shown that the basic mohtt for new axiom is mathematical practice as opposed to efforts to avoid t-paradoxes.