Кафедра философии
Институт философии и права Сибирского отделения РАН
ПРОГРАММА
кандидатского курса
«Философия
математики»
Составитель д.филос.н., профессор
В.В.Целищев
Лекции – 64 часа
Тема 1
Специфика математики как
науки. Дедуктивные и эмпирические науки. Кантианская метафора Эддингтона.
Математика как открытие реальности математика как человеческое изобретение .
Философия Пифагора и
возникновение западной цивилизации. Соотношение математики и религии. Теория
идей Платона и природа математики. Образ пещеры и мир универсалий. Первый
великий кризис в математике – открытие несоизмеримости. Становление и
расцвет математических истин. «Начала» Евклида как дедуктивная система.
Тема 3
Язык математики и законы
природы. Натуральная философия Галилея и Ньютона. Простота законов природы и
математика. Имеют ли законы природы опытное происхождение? Порядок и хаос.
Множества Мандельброта. Симметрия в природе.
Тема 4
Возникновение анализа и
второй великий кризис в математике. Понятие бесконечно малых
и нестандартный анализ. «Сверхъестественные числа».
Неевклидова геометрия и ее влияние на философию.
Математическая теория как формализм и математическая теория как описание реальности.
Евклидова геометрия как теория пространства и как математическая теория.
Тема 5
Бесконечность. Актуальная
бесконечность и потенциальная бесконечность. Парадоксы Зенона. Теория Г.
Кантора и современная теория множеств как основание математики. Третий великий
кризис в математике – парадоксы теории множеств и семантические парадоксы.
Понятие непротиворечивости теории.
Тема 6
Три великих направления в
основаниях математики. Логицизм и платонизм. Рассел и математика как
продолжение логики. Концептуализм и интуиционизм. Брауэр и Вейль и первичность
математики. Номинализм и формализм. Гильберт. Поиски непротиворечивости
математики и науки в целом.
Тема 7
Аксиоматический метод.
Постулаты Евклида. Природа аксиом и метод Декарта. Логика как инструмент математического
вывода. Математическая логика как кодификация математического вывода. Теория
доказательства. Понятие строгости доказательства и каноны строгости.
Математическая
интуиция. Аналитические и синтетические истины Лейбница. Математика как синтетические
априори истины Канта. Логические истины как тавтологии. Информационность
математических утверждений. Дедуктивизм как теория о
природе математики.
Формализация
математики. Язык математической логики. Понятие полноты теории. Программа Гильберта
доказательства непротиворечивости математики. Неполнота арифметики и теорема
Геделя. Структурализм Бурбаки.
Понятие
математического объекта. Множества и редукция математических объектов к
множествам. Проблема указания терминами теории объектов реального мира.
Объектные и подстановочные теории. Теоретические концепты. Абстракция и
моделирование.
Понятие
математической истины. Неразрешимые утверждения. Соотношение содержательной
математики и формальных утверждений. Закон исключенного третьего и
бесконечность. Конструктивная математика. Эмпирическая концепция математических
истин.
Понятие
существования в математике и теоретической науке. Соотношение эксперимента и
идеальных элементов Д. Гильберта в научных концепциях. Постуляционизм.
Априоризм математических истин. Понятие языкового каркаса Карнапа.
Алгоритмы и
мышление. Машина Тьюринга и тезис Черча. Механистическое представление
мыслительных процессов. Компьютеры и мышление человека. Может ли машина
мыслить? Тест Тьюринга. «Китайская комната» Серла.
Компьютерная метафора фон Неймана.
Непостижимая
эффективность математики в естественных науках. Математика как универсальный
язык и математика как исчисление. Дедуктивный путь развития науки. Пифагореизм
Эддингтона. Объекты научных теорий как математические структуры.
Соотношение
математики с опыта. Соотношение элементов дедуктивной теории и эмпирических
объектов. Неевклидовая геометрия и природа вселенной. Тезис Пуанкаре.
Прагматический критерий выбора теорий.
Разнообразие
математического опыта. Идеальный математик. Рамануджан
и другая математическая культура. Эвристика и правдоподобные заключения в
математике. Компьютерные доказательства – теорема о четырех красках.
Ревизия понятия доказательства. Вероятностные доказательства.
Математика и
реальность. Универсальность математики. Социальное конструирование и
гуманистическая математика. Математическое сообщество. Рост математического
знания.
Литература (для аспирантов):
Общая
литература по философии:
Рассел
Б. История западной философии. –
Новосибирск: Изд-во НГУ, 1997.
Рассел
Б. Мудрость Запада.
Тейчман Д., Эванс К. Философия для
начинающих. – М. 1998.
Литература
по классической философии:
Декарт
Р. Рассуждения о методе. Сочинения в
2 тт. – М., 1989. – Т. 1.
Кант
И. Критика чистого разума.
Платон. Государство. Книги 5–7.
Литература
по философии науки:
Пуанкаре
А. О науке.
Хакинг Я. Представление и
вмешательство.
Карнап
Р. Философские основания физики.
Франк
Ф. Философия науки. – М. 1957.
Литература
по общим проблемам математики:
Клайн
М. Математика. Утрата определенности.
Клайн
М. Математика. Поиск истины.
Литература
по методологии математики:
Мадер
В.В. Введение в методологию
математики. – М. 1995.
Клейн
Ф. Элементарная математика с точки
зрения высшей. – М., Наука, 1987.
Лакатос И. Доказательства и
опровержения.
Пойа
Д. Математика и правдоподобные
рассуждения.
Рассел
Б. Введение в математическую
философию.
Целищев
В.В., Петров В.В. Философские
проблемы логики. – М. 1984.
Целищев
В.В. Логическая истина и
эмпиризм. – Новосибирск 1974.
Дополнительная
литература (для лектора):
Barrow
J. Pi in the Sky. – Oxford,
1992.
Barrow J. Theories of
Everything. – Oxford, 1991.
Davis Ph., Hersh R. The
Mathematical Experience. – Penguin, 1983.
Davis Ph., Hersh
R.
Descartes’ Dream. – N.Y., 1986.
Hintikka Ja. The Principles of Mathematics
Revisited. – Cambridge UP 1996.
Hofstadter D. Godel, Escher, Bach, Basic Books, 1979.
Kitcher Ph. The
Nature of Mathematical Knowledge. – Oxford, 1984.
Lehman H. Introduction to
the Philosophy of Mathematics. – N.J. 1979.
Maddy
P.
Realism in Mathematics. – Oxford, 1990.
Penrose R. New
Emperor’s Mind. – Oxford, 1989.
Tiles M. The
Philosophy of Mathematics. – Blackwell, 1996.
Tiles M. The
Philosophy of Set Theory. – Blackwell, 1989.