У 1997 г.

ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ КЛЕПСОДИНАМИКУ

В.П.Бранский

Как известно, в полувековой истории теории элементарных частиц более или менее четко просматриваются две противоположные тенденции: (1) экстраполировать пространство–время Минковского M как угодно далеко в глубь микромира и (2) на какой–то ступени этой экстраполяции модифицировать его.

В свою очередь, наблюдаются два подхода к такой модификации: (а) континуальный, при котором модифицируются те или иные геометрические свойства M (например, размерность, как в теориях расширенной супергравитации и суперструн) без от отказа от аксиомы непрерывности, и (б) дискретный, когда в той или иной форме отказываются от непрерывности (квантование пространства–времени).

При этом известны два существенно разных способа квантования M: (a) квантование специальной теории относительности (СТО), т.е. и (b) квантование общей теории относительности (ОТО), т.е. , где – искривленное пространство–время.

Будем называть условно способ (a) дистонным подходом (от слов “дискретный” и “СТО”), а способ (b) – диотонным подходом (от слов “дискретный” и “ОТО”).

Основной целью дистонного подхода, является разрешение противоречия между исходными принципами СТО и нерелятивистской квантовой механики (НКМ) [10]. Это противоречие состоит в следующем. В основе СТО лежит предположение о совместимости макроскопического пространственно–временного (M) и импульсно–энергетического (M_p) описания движения микрообъектов. Это значит, что точная локализация частицы в точке x_m в одной из пространственно–временных зон M допускает ее точную локализацию в “точке” p_m в соответствующей зоне M_p, и обратно. Поэтому псевдоевклидова структура M (т.е. конус в координатном представлении) предполагает аналогичную структуру M_p (конус в импульсном представлении), и обратно. Напротив, НКМ требует их несовместимости (“дополнительности” в смысле взаимоисключаемости).

Действительно, в силу соотношений неопределенности и точная локализация частицы в соответствующей зоне M приводит к полной неопределенности p_m, т.е. к возможности локализации частицы в любой “точке” M_p, и обратно. Вследствие этого причинные ограничения на движения частицы в пространственно–временном описании оказываются несовместимыми с причинными ограничениями ее движений в импульсно–энергетическом описании.

Если интерпретировать “квантовое состояние” микрообъекта в квантовой механике как “бестраекторное” движение [11], то возникает естественный вопрос: относительно такое движение или абсолютно? Очевидно, что микрообъект движется таким парадоксальным образом или относительно другого микрообъекта (например, электрон относительно протона в атоме водорода), или относительно макроприбора. В первом случае возникает потребность ввести понятие квантовой системы отсчета (КвСО) [12]. Будем описывать последнюю четырьмя операторами мировых координат _m (m = 1, 2, 3, 4), коммутирующими¹ между собой:

                                                                                         (1)

Совокупность собственных значений этих операторов x_k, y_k, z_k, t_k описывает “положение” микрочастицы в КвСО, т.е. в системе отсчета, связанной с другой микрочастицей. Нетрудно заметить, что понятие “положение одного объекта относительно другого” имеет смысл только при условии (1). Предположим, что , кроме свойства (1) обладают также следующими свойствами:
1) они имеют общую для них “точку концентрации”² собственных значений, равную (или не равную) 0;
2) их собственные значения образуют дискретный спектр;
3) этот спектр состоит из конечного числа собственных значений, на котором спектр обрывается;
4) все собственные значения вещественны.

Таким образом, КвСО описывается матричным вектором , который удобно называть спейсором (от англ. space – пространство). Благодаря стохастическому характеру их собственных значений спейсоры напоминают твисторы [4], но отличаются от последних тем, что их собственные значения всегда вещественны.

  ,                                                                                (2)

где U⁺ = U^–1, – оператор ГШП. Это преобразование естественно называть квантованным преобразованием Пуанкаре, а группу таких преобразований P – квантованной группой Пуанкаре. Соответственно группа преобразований

                                                                                          (3)

является квантованной группой Лоренца . Особенность заключается в том, что она (в отличие от обычной L) оставляет инвариантным не интервал S, а оператор интервала :

.                                                                                             (4)

  ,                                                                                         (5)

Таким образом, , где – квантованная группа трансляций. Главная особенность (в отличие от P) состоит в том, что она полностью дискретна и конечна. Из равенств (4) и (5) ясно, что является математическим выражением нового физического принципа, в основе которого лежит идея обобщенной релятивистской инвариантности, специфической для микромира. Именно по этой причине данный принцип целесообразно назвать квантовым принципом относительности (КПО)³. Его качественная формулировка такова: все микроскопические физические явления протекают одинаково как относительно КвСО₁, так и относительно КвСО₂, если эти системы связаны преобразованием из группы ; другими словами, все микроскопические физические величины и соотношения между ними должны быть инвариантными относительно .

Рассмотрим теперь структуру оператора :

  .                                                                 (6)

,

Согласно общим свойствам линейных самосопряженных операторов, если и – операторы ГШП и , то будет оператором ГШП при N_А > N_В (где N_А – абсолютная норма ; N_В – абсолютная норма ) и не будет оператором ГШП при N_А< N_В. В применении к случаю (4) это значит, что квантование интервала приводит к квантованию светового конуса: внутри квантованного конуса будет оператором ГШП, и, следовательно, собственные значения S₁, S₂, ..., S_n будут вещественными, а вне конуса он не будет оператором ГШП в том смысле, что его собственные значения будут комплексными. Другими словами, будет иметь дискретный вещественный спектр для квантованного времениподобного интервала и дискретный комплексный спектр для квантованного пространственноподобного интервала. В результате в ультрамалой пространственно–временной области мировой конус превратится в своеобразную хроногеометрическую клепсидру, окруженную аномальным хроногеометрическим кольцом. Внутри клепсидры будут спейсорами, а вне ее – твисторами.

Итак, квантованное пространство–время при сделанных предположениях должно иметь форму клепсидры. Важно подчеркнуть, что этот результат получается лишь при условии (1). Поэтому понятие мировой клепсидры существенно связано с понятием КвСО.

Роль пространственно–временного интервала в играет теперь не S (как в M), а . Эта величина, в свою очередь, может быть подвержена квантованию: (так называемое вторичное квантование ). В результате дискретные мировые точки в будут образовывать “мировые рои”, инвариантные относительно преобразований (3). В каждой из таких роев будет действовать своя , отличающаяся от других числом элементов.

После введения понятия КвСО естественно возникает вопрос: что представляет собой состояние микрообъекта относительно такой системы? Разумно допустить, что это состояние описывается “волновым” оператором , получаемым из волновой функции путем замены . Будем называть этот оператор вейвором (от англ. wave – волна). Хотя собственные значения l₁, l₂,...,l_n его модуля сами по себе не будут иметь физического смысла, l_k² /N_p² (где – абсолютная норма ) естественно истолковать как вероятность обнаружения микрообъекта в соответствующих точках КвСО. Такое толкование будет оправданным потому, что (для вещественных l_k) и N_p >l_k (для всех k).

Из квантового принципа относительности следует независимость от преобразования не только собственных значений операторов физических величин, но и вероятностей этих значений. Поэтому модуль должен быть инвариантен относительно преобразований КвСО и, в простейшем случае, должен иметь вид .

                                                          (7)

С первого взгляда такое обобщение кажется физически необоснованным: чтобы получить его, мы должны заменить на в суперпозиции волновых функций, описывающих частицы a_k с разными фундаментальными свойствами (m, l, s и т.п.), т.е. в

.                                                                           (8)

Будем называть ультрарелятивистским пакетом, чтобы отличить его от обычного релятивистского пакета , описывающего поведение релятивистских микрочастиц в M. Многообразие таких пакетов образует квантованное пространство Гильберта .

Возникает вопрос о представлении в . Это представление R может быть записано так:

где C – вектор, определяющий состояние в , а R – матрица, определяющая преобразование при .

Важнейшей проблемой теории представлений в является нахождение неприводимых представлений R₁, R₂, ..., R_n, которые должны действовать в неприводимых подпространствах . Ввиду дискретности и конечности эта проблема решается, по–видимому, довольно просто: благодаря изоморфизму симметрической группе S_n (группе перестановок) R_k, по всей вероятности, совпадают с неприводимыми представлениями группы S_n.

Представим теперь , где – угол “поворота” вектора C в , а – генератор представления (некоторая матрица).

Предположим, что существует оператор , коммутирующий со всеми :

, k = 1, 2, ... m.                                                                              (9)

Допустим, далее, что роль в теории группы играет – оператор “внутренней” энергии ультрарелятивистского пакета ⁴. Тогда собственные значения E₁, E₂, ..., E_n оператора осуществляют классификацию R_k. Это значит, что R_k ~ E_k, т.е. устанавливается биоднозначная связь между неприводимыми представлениями и определенными значениями энергии.

Существование неприводимых представлений у естественно подводит к вопросу об инвариантах этих представлений. Роль такого инварианта должен играть некоторый оператор W, который удовлетворяет уравнению

RWR–1 = W,                                                                                    (10)

где R – представление в . Физический смысл W состоит в том, что он описывает взаимодействие ультрарелятивистского пакета с квантованным пространством–временем . Другими словами, W ответственен за те изменения, которые претерпевает при его прохождении через мировую клепсидру. Протекающий при этом в процесс с теоретико–групповой точки зрения является так называемым индукционно–редукционным процессом (ИРП). Он может быть описан только на языке теории групп.

Пусть даны некоторая группа G и набор ее неприводимых представлений R₁, R₂, ..., R_n в некотором пространстве H. Если мы образуем из двух (или нескольких) R_k так называемое прямое (кронекеровское) произведение (например, R₁Д R₂), то образовавшееся новое представление по отношению к G будет, вообще говоря приводимым. Если, однако, рассмотреть более широкую группу G', подгруппой которой является G, то может оказаться, что R₁ДR₂ по отношению к G' является неприводимым. Вот этот процесс конструирования неприводимых представлений более широкой группы с помощью неприводимых представлений более узкой группы, являющейся ее подгруппой или изоморфной такой группе, называется теоретико–групповой индукцией (ТГИ), а представления, возникающие в ходе этого процесса, – индуцированными.

Противоположный процесс – теоретико–групповая редукция (ТГР) – выглядит так: мы разлагаем неприводимое представление R' группы G' в так называемую прямую сумму двух (или нескольких) неприводимых представлений R группы G (например, R' = R₃ДR₄). Следовательно, теоретико–групповая редукция заключается в получении неприводимых представлений более узкой группы с помощью представлений более широкой группы.

Пока мы не выходим за рамки непрерывного пространства–времени M, ТГИ и ТГР имеют чисто формальный характер, играя роль вспомогательных математических операций для описания классификации элементарных частиц (их стационарных состояний). Ключевой вопрос, однако, заключается в следующем: квантование пространства–времени Минковского, т.е. переход , превращает эти процедуры из формальных в реальные, придавая им непосредственный физический смысл. Последний состоит в том, что при движении ультрарелятивистской частицы (или, что то же самое, при “распространении” ультрарелятивистского пакета) в ее возможные состояния подвергаются дискретным (“скачкообразным”) изменениям⁵.

Проблема фундаментальной длины. Обычно считается, что квантование существенно связано с гипотезой о существовании фундаментальной (элементарной) длины l₀, являющейся (наряду с ћ и c) третьей мировой константой.

Как известно (см., например, [1]), в качестве кандидата на роль l₀ была выдвинута комптоновская длина волны L. По мере увеличения энергии взаимодействия элементарных частиц в роли l₀ фигурировали все более короткие L: 10^–11 см (комптоновская длина электрона), 10^–13 см (комптоновская длина пиона), 10^–14 см (комптоновская длина протона) и т.д., – вплоть до настоящего времени, когда на роль l₀ претендует L_p = 10^–33 см (планковская длина, являющаяся комптоновской длиной максимона, т.е. частицы с массой m_p = 10^–5 г.)⁶.

С точки зрения ККД фундаментальная длина l₀ есть не что иное, как “поперечник” мировой клепсидры, т.е. величина, характеризующая “размер” клепсидры в пространственно–временном континууме Минковского. Можно показать, что он равен

l0 = ћcec–1.                                                                                       (11)

Здесь e_c – комптоновская энергия взаимодействия двух сталкивающихся частиц, т.е. энергия, при которой достигается максимальная точность локализации этих частиц в пространственно–временном континууме Минковского (e_c = m₁c², где m₁ – масса покоя самой массивной из сталкивающихся частиц). Ввиду зависимости l₀ от e_c  l₀ не является мировой константой.

При фиксированном же e_c  l₀ хотя и становится константой, но выражается через ћc, т.е. не является независимой от ћ и c. Полагая e_c = m_pc², где m_p = 10^–5 г (масса максимона), получаем l_p = ћc ^.e_c^–1, где l_p = 10^–33 см (планковская длина).

Планковская длина оказывается наименьшим поперечником клепсидры (при увеличении энергии взаимодействия). Это связано с тем обстоятельством, что при таком масштабе клепсидра “сжимается” до размеров центрального мирового роя. Однако минимальный поперечник клепсидры, по самому определению этого понятия, предполагает существование еще меньших пространственных масштабов и поэтому отнюдь не является тем, что принято называть “элементарной” длиной. Таким образом, ККД приводит к такому квантованию пространства–времени, при котором не возникает элементарной длины.

Еще интереснее то обстоятельство, что l_p в рамках ККД приобретает совершенно новый физический смысл: она характеризует не такой рубеж, начиная с которого гравитационные взаимодействия становятся существенными в микромире, а такой, на котором исчезают всякие взаимодействия между частицами (так называемая пропасть Планка).

Неклассическое объяснение взаимопревращений и многообразия частиц. Классическое объяснение взаимопревращений основано на представлении, что “элементарные” частицы состоят из небольшого набора “истинно элементарных” субчастиц. Качественное изменение сталкивающихся частиц (например, при неупругом рассеянии) объясняется перестройкой внутренней структуры взаимодействующих частиц. Эта перестройка может сводится к изменению способа соединения субчастиц, а может предполагать и замену одних субчастиц другими.

Классический критерий элементарности заключается в отсутствии у частицы макроструктуры. Под макроструктурой обычно подразумевается способ соединения некоторой совокупности актуально существующих элементов в целое (подобно, например, соединению атомов в молекуле или нуклонов в ядре). Объективное существование такого подразделения целого на элементы, связанные друг с другом некоторым взаимодействием, предполагает практическую возможность разделить это целое на изолированные (“свободные”) элементы с помощью определенного класса воздействий. Причем допускается также инвариантность такого расщепления целого на части относительно различных воздействий указанного класса. Это значит, что при разных воздействий (из данного класса) образуются одни и те же элементы. Например, ядро можно расщепить на нуклоны, вообще говоря, путем соударения с другим ядром, бомбардировки нуклонами или g–облучения. При этом образуются одни и те же частицы.

В случае взаимодействия с в верхней поле клепсидры тоже подвергается модификации, которая заключается в последовательном разложении пакета на более простые. Затем под влиянием взаимодействия с макроприбором элементарные пакеты редуцируются к отдельным частицам. Таким образом, с одной стороны, имеется сходство, поскольку в том и другом случае под влиянием меняющейся среды (магнитное поле или ) происходит модификация исходного волнового пакета, а затем в результате взаимодействия с прибором – спектральное разложение модифицированного пакета. С другой стороны, имеется и существенное различие. В первом случае модификация состоит в изменении спектрального состава пакета, во втором же – в разложении пакета на более простые. В первом случае действие прибора заключается в разложении модифицированного пакета на его спектральные составляющие, тогда как во втором это действие выражается в редукции элементарных пакетов к отдельным частицам. Таким образом, верхняя пола клепсидры играет роль спектрального анализатора, а КлСО – детектора.

Природа вакуума и происхождение расходимостей. Если рассматривать ИПР с точки зрения M, то складывается впечатление, что сталкивающиеся частицы исчезают на нижней границе клепсидры и появляются на верхней. Следовательно, в макроскопическом плане ИПР выглядит как уничтожение частицы в одной точке M и рождение в другой (регенерация [16]). При континуализации , т.е. при переходе от клепсидры к конусу, регенерационный процесс может быть усложнен: частица может уничтожаться и рождаться не только на границе , но и внутри нее⁷. Более того, наряду с прямыми регенерациями возможны и посреднические, связывающие прямые. Ввиду локальности каждого такого процесса и непрерывности области V ИПР внутри V будет соответствовать бесконечное многообразие всевозможных регенерационных процессов.

Однако на этом макроскопизация ИПР не заканчивается: локализация частицы в V предполагает отождествление собственных значений , описывающих положение частицы в , с макрокоординатами, характеризующими ее положение в M. Но физическая локализация в M означает участие в этом деле макроскопического 4–импульса p_m. Поэтому указанное отождествление приводит к зависимости . Возможны различные формы такой зависимости. Для выбора одной из них макроскопически мыслящему теоретику естественно воспользоваться специальным принципом относительности (СПО) и потребовать удовлетворения спектров обычной релятивистской инвариантности. Такое требование, как показал, в частности, Снайдер [2], ведет, вообще говоря, к соотношениям

_, m ,n,h = 1, 2, 3, 4.

где t_k, x_k, y_k, z_k – собственные значения , а S_k (V) – собственные значения в V.

Нарушение причинности имеет своим следствием то, что возможные (в V) частицы становятся виртуальными, т.е. акаузальными. Такие частицы могут уничтожаться и рождаться не только внутри конуса V, но и вне его. В итоге усеченный биконус V “развертывается” в шар Г.

Итак, в результате макроскопизации мировая клепсидра становится в конечном счете мировой глобулой Г, а ИПР описывается с помощью бесконечного многообразия виртуальных регенерационных процессов в Г.

Согласно ККД (в отличие от в квантовой теории поля) описывает состояние микрообъекта, а не переход из одного состояния в другое, как это делает . Все состояния микрообъекта относительно КвСО описываются операторами типа ГШМ. Это значит, что у них хотя бы одно собственное значение m_k № 0 и поэтому N_y № 0. Если же мы имеем , у которого нет m_k № 0, т.е. у которого есть только нулевое собственное значение, то норма N_y  = 0. Оператор с нулевой нормой уже не является оператором типа ГШП и, следовательно, не принадлежит к множеству последних. Тем не менее с точки зрения КПО он имеет физический смысл: он соответствует такому “состоянию” микрообъекта, при котором вероятность его появления в любой из точек КвСО равна нулю (нулевой рой вероятности), из чего следует, что микрообъект при этом просто отсутствует. Следовательно, описывает “вакуум”, т.е. “пустую” КвСО.

.

,

где – оператор рождения частицы в КвСО, а – “вакуумное” состояние (квантово–полевой вакуум). Отсюда ясно, что с точки зрения ККД квантово–полевой вакуум (совокупность виртуальных частиц в Г) есть состояние частицы в КвСО, в которой ее нет, выраженное на макроязыке. Другими словами, это описание “пустой” КвСО в M. Действительно, “пустая” КвСО в M выглядит как своего рода “флуктуирующая пустота”.

Из изложенного ясно, что с точки зрения ККД общей причиной расходимостей в квантовой теории поля является описание нелокального процесса (индукционно–редукционного) в с помощью локальных процессов (регенерационных) в M.

Из изложенного ясно, что с точки зрения ККД действительное устранение расходимостей в ТЭЧ не может быть осуществлено с помощью чисто формальных ухищрений (метод перенормировок). Оно требует содержательного подхода к проблеме, т.е. выяснения причины появления расходимостей. Поскольку такой причиной является представление нелокального процесса в с помощью локальных процессов в M, постольку для устранения расходимостей надо избежать такого представления. Чтобы достичь этого, следует перейти от – операторов рождения или уничтожения частиц относительно КлСО к – операторам рождения или уничтожения частиц относительно КвСО; построить с помощью соотношения (10) инвариантный оператор W; затем перейти в нем к макропределу W® L, где L – оператор Лагранжа, являющийся комбинацией , инвариантной относительно обычной группы Пуанкаре (специальный принцип относительности) и группы локальных калибровочных преобразований (принцип локальной калибровочной инвариантности). Если причиной расходимостей действительно является представление нелокального процесса в с помощью локальных процессов в M, то при таком переходе должен возникнуть L, свободный от расходимостей. Последнее объясняется тем, что при таком переходе мы избегаем представления нелокального процесса с помощью локальных процессов.

(эйнштейнова форма);

RWR^–1 = W (вигнерова форма).

  ® S' = S;                                   (12) 

RWR–1 = W ® Ui [a(x)] L Ui–1 [a(x)] = L.                                                             (13) 

Здесь U_i = lim R – преобразования внутренней симметрии, а L = lim W – лагранжиан. Но (12) есть СПО, а (13) – ПЛКИ. Поэтому с точки зрения ККД СПО и ПЛКИ оказываются разными макропроявлениями одного и того же принципа, каковым и является КПО. Именно по этой причине в ККД обнаруживается тесная связь между пространственно–временной и так называемой динамической (“внутренней”) симметрией, которой нет в квантовой теории калибровочных полей.

Однако РКМ не удалось осуществить действительный (содержательный) синтез СТО и НКМ ввиду того, что не было преодолено фундаментальное противоречие между исходными принципами этих теорий. С методологической точки зрения это неудивительно, так как РКМ не вводит никаких новых физических принципов, а пользуется только теми, которые она берет в готовом виде из СТО и НКМ. Возникает вопрос: нельзя ли “обратить” задачу и попытаться построить вместо РКМ квантовую теорию относительности (КТО)⁸? Фактически выше был описан в общих чертах метод такого “обращения”. Так как КТО в отличие от РКМ вводит новые фундаментальные понятия и принципы, она позволяет преодолеть неформально противоречие между СТО и НКМ и благодаря этому становится возможным их органический синтез.

В истории науки известны случаи, когда новые фундаментальные теории возникали на основе решения очень простых и, по–видимости, довольно “наивных” вопросов. Так, в XVI в. был поставлен “наивный” вопрос, сыгравший большую эвристическую роль: как будет выглядеть мир, если наблюдатель окажется на Солнце? Ответ на него привел к созданию гелиоцентрической системе Коперника. В конце XIX в. появился еще один “наивный” вопрос: как будет выглядеть мир, если наблюдатель будет двигаться со скоростью света? Как известно, ответ на этот вопрос послужил поводом к созданию СТО. Вполне естественно, что в конце XX в. возникает третий “наивный” вопрос: как будет выглядеть мир, если наблюдатель уменьшится до “размеров” элементарной частицы? Этот вопрос может показаться еще более абсурдным, чем два предыдущих. Между тем первые два “наивны”, но не бессмысленны, несмотря на очевидную невозможность конкретной реализации таких допущений.

1. В этом состоит принципиальное отличие данного понятия от аналогичного термина, употребляемого в работах [8], [9] и др., в которых .

4. Под “внутренней” энергией подразумевается , где m_0k – собственная масса [12].

6. Макроны с m 10^–5 г называют также планкеонами (К.П.Станюкович) или максимонами (М.А.Марков). Вообще, масса макрона і 10^–5 г.

7. Обозначим времениподобную область внутри усеченного биконуса, с помощью которого мы описываем процессы взаимодействия внутри клепсидры, через V.

Литература

1. Flint H.T. The Quantization of Space and Time // Phys. Rev. 1948. V. 74, № 2.

2. Snyder H.S. Quantized Space–Time // Phys. Rev. 1947. V. 71, № 1.

3. Finkelstein D. Space–Time Code // Phys. Rev. 1969. V. 184, № 5.

5. Dadic I., Pisk K. Dynamics of Discrete–Space Structure // Intern. J. Theor. Phys. 1979. V. 18, № 5.

6. Schroeck F.E. The Transitions among Classical Mechanics, Quantum Mechanics and Stochastic Quantum Mechanics // Found. Phys. 1982. V. 12, № 9.

8. Banai M. Quantum Relativity Theory and Quantum Space–Time // Intern. J. Theor. Phys. 1984. V. 23, № 11.

9. Namsrai Kh. Quantized Space–Time and Consequences // Intern. J. Theor. Phys. 1985. V. 24, № 8.

10. Гейзенберг В. Физика и философия. М.: Мир. 1963.

11. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. М.: Мир. 1960.

12. Бранский В.П. Теория элементарных частиц как объект методологического исследования. Л., 1989.

13. Фок В.А. Квантовая физика и строение материи. Л., 1965.

15. Берут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. М., 1980. Т.2.

16. Френкель Я.И.  Понятие  движения в релятивистской квантовой механике // Докл. АН СССР. Т. 64. С. 507 – 509.