О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ДЛИНЕ И АКТУАЛЬНОМ НУЛЕ

Ю.Г. Решетняк

 

 

Я про­чи­тал за­мет­ку про­фес­со­ра С.С.Ку­та­те­лад­зе «Ак­ту­аль­ный нуль» и от­вет на нее док­то­ра фи­ло­соф­ских на­ук О.В.Ша­ры­по­ва, опуб­ли­ко­ван­ные в жур­на­ле «Фи­ло­со­фия нау­ки». Ка­кие со­бы­тия сто­ят за по­ле­ми­кой, со­дер­жа­щей­ся в этой за­мет­ке, от­ве­том на нее и дру­ги­ми ма­те­риа­ла­ми, свя­зан­ны­ми с упо­мя­ну­ты­ми пуб­ли­ка­ция­ми? Пу­те­ше­ст­вуя по Ин­тер­не­ту, один из ее уча­ст­ни­ков (а имен­но, С.С.Ку­та­те­лад­зе) с удив­ле­ни­ем для се­бя об­на­ру­жил, что в Си­бир­ском от­де­ле­нии Рос­сий­ской ака­де­мии на­ук со­вер­ше­но круп­ное ма­те­ма­ти­че­ское от­кры­тие, о ко­то­ром ему до это­го мо­мен­та ни­че­го не бы­ло из­вест­но. Это от­кры­тие, од­на­ко, бы­ло вклю­че­но в пе­ре­чень ос­нов­ных дос­ти­же­ний Си­бир­ско­го от­де­ле­ния РАН за 1998 год.

Ис­хо­дя из по­ня­тия фун­да­мен­таль­ной дли­ны, из­вест­но­го из тео­ре­ти­че­ской фи­зи­ки, не­ко­то­рые со­труд­ни­ки Ин­сти­ту­та фи­ло­со­фии и пра­ва СО РАН вве­ли но­вое ма­те­ма­ти­че­ское по­ня­тие – по­ня­тие ак­ту­аль­но­го ну­ля и по­строи­ли ариф­ме­ти­ку, в ко­то­рой роль обыч­но­го ну­ля ис­пол­ня­ет ак­ту­аль­ный нуль. Де­таль­ное оз­на­ком­ле­ние с тео­ри­ей ак­ту­аль­но­го ну­ля очень уди­ви­ло С.С.Ку­та­те­лад­зе и, бо­лее то­го, его удив­ле­ние пе­ре­шло в воз­му­ще­ние. Де­ло в том, что изо­бре­та­те­ли ак­ту­аль­но­го ну­ля, как вид­но из их со­чи­не­ний, к со­жа­ле­нию, фор­му­ли­ру­ют свои ре­зуль­та­ты, с точ­ки зре­ния ма­те­ма­ти­ка, не­пра­виль­но.

При­ве­дем хо­тя бы фра­зу из от­че­та Си­бир­ско­го от­де­ле­ния: «Ма­те­ма­ти­че­ски фун­да­мен­таль­ная дли­на пред­став­ле­на но­вым объ­ек­том – ак­ту­аль­ным ну­лем мно­же­ст­ва...». Из этой фор­му­ли­ров­ки мож­но за­клю­чить, что в лю­бом мно­же­ст­ве, встре­чаю­щем­ся в ма­те­ма­ти­ке, ис­поль­зуя ме­тод ав­то­ров от­кры­тия, мож­но ука­зать но­вый эле­мент – его ак­ту­аль­ный нуль. Вся­кий ма­те­ма­ти­че­ский объ­ект есть мно­же­ст­во, в свя­зи с чем дан­ное «от­кры­тие» пред­став­ля­ет­ся имею­щим гло­баль­ное зна­че­ние.

Бо­лее тща­тель­ное рас­смот­ре­ние тру­дов ав­то­ров по дан­ной те­ме по­зво­ля­ет за­клю­чить, что речь идет не о всех, во­об­ще, мно­же­ст­вах, а о не­ко­то­ром кон­крет­ном мно­же­ст­ве. Точ­ное оп­ре­де­ле­ние это­го мно­же­ст­ва из тру­дов соз­да­те­лей ак­ту­аль­но­го ну­ля ус­мот­реть дос­та­точ­но труд­но. Дру­гое об­стоя­тель­ст­во, ко­то­рое шо­ки­ро­ва­ло С.С.Ку­та­те­лад­зе, со­сто­ит в том, что ма­те­ма­ти­ка, ис­поль­зуе­мая ав­то­ра­ми, в выс­шей сте­пе­ни три­ви­аль­на. О сво­их на­блю­де­ни­ях С.С.Ку­та­те­лад­зе по­счи­тал не­об­хо­ди­мым по­ве­дать на­уч­ной об­ще­ст­вен­но­сти и под­го­то­вил пись­мо в га­зе­ту «Нау­ка в Си­би­ри» и за­тем, по ре­ко­мен­да­ции од­но­го из чле­нов ред­кол­ле­гии жур­на­ла «Фи­ло­со­фия нау­ки», ре­п­ли­ка бы­ла на­прав­ле­на в этот жур­нал. Эта за­мет­ка С.С.Ку­та­те­лад­зе бы­ла на­пе­ча­та­на вме­сте с про­стран­ным от­ве­том на нее О.В.Ша­ры­по­ва. За­мет­ку С.С.Ку­та­те­лад­зе ре­дак­ция жур­на­ла «Фи­ло­со­фия нау­ки» по­мес­ти­ла с ука­за­ни­ем, что в пуб­ли­ка­ции со­хра­не­ны все осо­бен­но­сти пунк­туа­ции и сти­ля ав­то­ра. (Дру­гих кри­ти­ку­ет, а по­смот­ри­те, как сам пи­шет!)

О.В.Ша­ры­пов счи­та­ет, что кри­ти­ка С.С.Ку­та­те­лад­зе ни­как не ар­гу­мен­ти­ро­ва­на. Ува­жае­мый гос­по­дин О.В.Ша­ры­пов за­блу­ж­да­ет­ся! В сво­ем пись­ме С.С.Ку­та­те­лад­зе при­во­дит две или три ци­та­ты из кри­ти­куе­мых им со­чи­не­ний. И это не ка­кие-то вы­дер­ну­тые из кон­тек­ста слу­чай­ные фра­зы – сре­ди них ос­но­во­по­ла­гаю­щие для тео­рии О.В.Ша­ры­по­ва раз­вер­ну­тые оп­ре­де­ле­ния по­ня­тий фун­да­мен­таль­ной дли­ны и ак­ту­аль­но­го ну­ля. Ка­ж­дое из ци­ти­руе­мых ос­нов­ных оп­ре­де­ле­ний пред­став­ля­ет со­бой ме­ша­ни­ну из ма­те­ма­ти­че­ских, фи­ло­соф­ских и фи­зи­че­ских тер­ми­нов. Я не знаю, как об­сто­ит де­ло с фи­зи­че­ски­ми и фи­ло­соф­ски­ми тер­ми­на­ми, но ма­те­ма­ти­че­ские тер­ми­ны ав­тор при­ме­ня­ет, к со­жа­ле­нию, без чет­ко­го по­ни­ма­ния их смыс­ла. Это са­мый силь­ный ар­гу­мент про­тив со­чи­не­ний док­то­ра фи­ло­соф­ских на­ук О.В.Ша­ры­по­ва! Ес­ли Вы пре­тен­дуе­те на то, что­бы ска­зать но­вое сло­во в ма­те­ма­ти­ке, – в дан­ном слу­чае де­ло об­сто­ит имен­но так, – то вы­учи­те хо­тя бы ма­те­ма­ти­че­скую тер­ми­но­ло­гию, от­но­ся­щую­ся к де­лу, а, глав­ное, нау­чи­тесь пра­виль­но ее при­ме­нять. Это ус­ло­вие не­об­хо­ди­мо для то­го, что­бы Вам и Ва­шим от­кры­ти­ям ма­те­ма­ти­ки по­ве­ри­ли.

Нуль в ма­те­ма­ти­ке – это чис­ло, до­бав­ле­ние ко­то­ро­го к сум­ме сум­му не ме­ня­ет. Имен­но так дей­ст­ву­ет «ак­ту­аль­ный нуль» О.В.Ша­ры­по­ва. Ме­ж­ду тем О.В.Ша­ры­пов, не по­ни­мая про­стей­ших ма­те­ма­ти­че­ских ис­тин, пи­шет в сво­ей док­тор­ской дис­сер­та­ции, что «ал­геб­ра и гео­мет­рия на мно­же­ст­ве с ак­ту­аль­ным ну­лем не изу­ча­лись ма­те­ма­ти­ка­ми да­же на ак­сио­ма­ти­че­ском уров­не». Ка­ж­до­му серь­ез­но­му уче­но­му яс­но, что пе­ре­име­но­ва­ни­ем ну­ля в «ак­ту­аль­ный нуль» ни­ка­ких про­блем ре­шить не уда­ст­ся ни в фи­зи­ке, ни в ма­те­ма­ти­ке, ни да­же в фи­ло­со­фии.

По­сколь­ку пись­мо про­фес­со­ра С.С.Ку­та­те­лад­зе из­на­чаль­но пред­на­зна­ча­лось для га­зе­ты, то бо­лее под­роб­ный ана­лиз со­чи­не­ний О.В.Ша­ры­по­ва вряд ли был воз­мо­жен в пре­де­лах это­го пись­ма. Не­ко­то­рые кон­крет­ные за­ме­ча­ния в пись­ме С.С.Ку­та­те­лад­зе, од­на­ко, при­во­дят­ся. В гео­мет­рии про­стран­ст­ва, по­стро­ен­ной по ре­цеп­там О.В.Ша­ры­по­ва, по­лу­ча­ет­ся, что ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, со­став­лен­но­го клас­си­че­ски­ми век­то­ра­ми, мо­жет рав­нять­ся ка­те­ту. В пись­ме О.В.Ша­ры­по­ва от­сут­ст­ву­ет от­вет на это за­ме­ча­ние С.С.Ку­та­те­лад­зе.

Так­же иг­но­ри­ру­ет­ся столь же бес­спор­ное с ма­те­ма­ти­че­ской точ­ки зре­ния ука­за­ние С.С.Ку­та­те­лад­зе на то, что ни­ка­ких но­вых ну­лей и чи­сел О.В.Ша­ры­пов не изо­брел во­все. Он все­го лишь пе­ре­име­но­вы­ва­ет по­ло­жи­тель­ные чис­ла, сдви­гая их по оси. Та­ким об­ра­зом, рас­смат­ри­ва­ет­ся про­сто дру­гая реа­ли­за­ция ал­геб­раи­че­ской сис­те­мы, со­став­лен­ной из обык­но­вен­ных по­ло­жи­тель­ных чи­сел. Ни­ка­ких но­вых ал­геб­раи­че­ских свойств на этом пу­ти по­лу­чить в прин­ци­пе не­воз­мож­но. Не­сколь­ко ни­же я разъ­яс­ню это об­стоя­тель­ст­во бо­лее под­роб­но.

Пред­став­ле­ние о наи­мень­шей ин­ва­ри­ант­ной про­тя­жен­но­сти, как пи­шет в сво­ем от­ве­те О.В.Ша­ры­пов, долж­но учи­ты­вать­ся в ма­те­ма­ти­че­ском фор­ма­лиз­ме, при­ме­няе­мом фи­зи­ка­ми, ко­то­рый не дол­жен ис­поль­зо­вать не­фи­зи­че­ские пред­став­ле­ния о «сколь угод­но» ма­лых ве­ли­чи­нах. Но на этих пред­став­ле­ни­ях ос­но­вы­ва­ют­ся диф­фе­рен­ци­аль­ное и ин­те­граль­ное ис­чис­ле­ния – ра­бо­чий ап­па­рат фи­зи­ки еще со вре­мен И.Нью­то­на, не ут­ра­тив­ший свое зна­че­ние и в на­шем XXI-м ве­ке! То, что эти раз­де­лы ма­те­ма­ти­ки фи­зи­кам ра­но спи­сы­вать в ар­хив, лег­ко убе­дить­ся, пе­ре­лис­ты­вая лю­бой из со­вре­мен­ных фи­зи­че­ских жур­на­лов. По­это­му дан­ный те­зис О.В.Ша­ры­по­ва пред­став­ля­ет­ся край­не спор­ным.

В сво­ем от­ве­те О.В.Ша­ры­пов от­ме­ча­ет, что С.С.Ку­та­те­лад­зе яв­ля­ет­ся со­ав­то­ром мо­но­гра­фии, в ко­то­рой ис­поль­зу­ют­ся та­кие по­ня­тия как «ак­ту­аль­ная бес­ко­неч­ность» и «ак­ту­аль­ная бес­ко­неч­но ма­лая ве­ли­чи­на», и в от­ли­чие от мно­гих, зна­ком не толь­ко с идея­ми Г.Кан­то­ра, но и с идея­ми П.Во­пен­ки. По­это­му С.С.Ку­та­те­лад­зе дол­жен быть зна­ком и с про­бле­мой со­от­вет­ст­вия/не­со­от­вет­ст­вия ме­ж­ду фи­ни­ти­ст­ски­ми фи­зи­че­ски­ми пред­став­ле­ния­ми и ин­фи­ни­ти­ст­ски­ми тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ны­ми кон­цеп­ция­ми. По­пыт­ки по­стро­ить ма­те­ма­ти­ку, не ис­поль­зую­щую по­ня­тие ак­ту­аль­ной бес­ко­неч­но­сти, пред­при­ни­ма­лись за­дол­го до П.Во­пен­ки. Ис­сле­до­ва­ния, ве­ду­щие­ся в этом на­прав­ле­нии, без­ус­лов­но яв­ля­ют­ся важ­ны­ми и по­лез­ны­ми. Они по­зво­ля­ют луч­ше по­нять не­ко­то­рые прин­ци­пи­аль­ные ас­пек­ты ма­те­ма­ти­ки. Но по­ка ма­те­ма­ти­ка без ак­ту­аль­ной бес­ко­неч­но­сти или с ог­ра­ни­чен­ным ис­поль­зо­ва­ни­ем бес­ко­неч­но­сти ока­зы­ва­ет­ся зна­чи­тель­но бо­лее слож­ной и по­то­му ме­нее эф­фек­тив­ной, чем ма­те­ма­ти­ка, ос­но­ван­ная на клас­си­че­ской тео­рии мно­жеств. Во­прос о свя­зи ма­те­ма­ти­ки с ре­аль­ным ми­ром, по-ви­ди­мо­му, зна­чи­тель­но слож­нее, чем это пред­став­ля­лось в се­ре­ди­не про­шло­го ве­ка.

Сто­ит под­черк­нуть, од­на­ко, что об­су­ж­де­ние со­вре­мен­ных взгля­дов на ак­ту­аль­ные бес­ко­неч­но боль­шие и бес­ко­неч­но ма­лые чис­ла, о ко­то­рых, ока­зы­ва­ет­ся, со­всем не­пло­хо зна­ют и ма­те­ма­ти­ки, ни­ка­ко­го от­но­ше­ния к «от­кры­ти­ям» О.В.Ша­ры­по­ва не име­ет. Об этих пред­ме­тах не­ма­ло ска­за­но в со­чи­не­ни­ях про­фес­сио­наль­ных ма­те­ма­ти­ков и, в ча­ст­но­сти, в кни­гах С.С.Ку­та­те­лад­зе и его со­труд­ни­ков. Из­ла­гае­мые там со­вре­мен­ные воз­зре­ния на чис­ла, вскры­тые ма­те­ма­ти­че­ской ло­ги­кой XX-го ве­ка, в ра­бо­тах О.В.Ша­ры­по­ва не ис­поль­зу­ют­ся.

У чи­та­те­ля, ес­те­ст­вен­но, мо­жет воз­ник­нуть во­прос: а что же все-та­ки сде­ла­но док­то­ром фи­ло­соф­ских на­ук О.В.Ша­ры­по­вым и его кол­ле­га­ми и по­че­му это так ра­зо­зли­ло ма­те­ма­ти­ков? От­ве­чая на эти во­про­сы, я бу­ду ссы­лать­ся на ра­бо­ты [3] и [4], ко­то­рые я на­шел в Ин­тер­не­те.

Что та­кое фун­да­мен­таль­ная дли­на по О.В.Ша­ры­по­ву? По­вто­рим оп­ре­де­ле­ние, ко­то­рое ци­ти­ру­ет С.С.Ку­та­те­лад­зе. Фун­да­мен­таль­ная дли­на есть «не­дос­ти­жи­мый (асим­пто­ти­че­ский) ниж­ний пре­дел мно­же­ст­ва про­стран­ст­вен­ных раз­ме­ров ве­ще­ст­вен­но-по­ле­вых объ­ек­тов в вос­при­ятии ве­ще­ст­вен­но­го на­блю­да­те­ля (т. е. мно­же­ст­ва от­но­си­тель­ных длин)». От­ме­тим сра­зу, что сло­ва «асим­пто­ти­че­ский» и «не­дос­ти­жи­мый» в ма­те­ма­ти­ке не яв­ля­ют­ся си­но­ни­ма­ми. По­ня­тие – ниж­ний пре­дел мно­же­ст­ва – ма­те­ма­ти­кам не­из­вест­но. Го­во­рят о ниж­нем пре­де­ле по­сле­до­ва­тель­но­сти, функ­ции и т.п. По-ви­ди­мо­му, тер­мин «ниж­ний пре­дел» здесь оз­на­ча­ет то, что ма­те­ма­ти­ки на­зы­ва­ют ниж­ней гра­нью или точ­ной ниж­ней гра­ни­цей мно­же­ст­ва. (Ес­ли сле­до­вать при­ме­ру ре­дак­ции «Фи­ло­со­фия нау­ки», я не дол­жен бы это пи­сать, и мне сле­до­ва­ло бы пре­дос­та­вить О.В.Ша­ры­по­ву рыть­ся в ма­те­ма­ти­че­ских кни­гах и ис­кать под­хо­дя­щий тер­мин са­мо­му.)

Те­перь от­но­си­тель­но ак­ту­аль­но­го ну­ля. В ра­бо­те [3] ска­за­но сле­дую­щее: «...мы при­хо­дим к оп­ре­де­ле­нию но­во­го по­ня­тия, яв­ляю­ще­го­ся аде­к­ват­ной аб­ст­рак­ци­ей фун­да­мен­таль­ной дли­ны – ак­ту­аль­но­му ну­лю. По оп­ре­де­ле­нию это ин­ва­ри­ант­ный ко­неч­ный эле­мент мно­же­ст­ва, в асим­пто­ти­че­ском смыс­ле пре­дель­ный для лю­бых убы­ваю­щих по­сле­до­ва­тель­но­стей, со­стоя­щих из эле­мен­тов это­го мно­же­ст­ва». Не­по­нят­но, о ка­ком мно­же­ст­ве идет речь. Ес­ли име­ет­ся в ви­ду мно­же­ст­во, эле­мен­ты ко­то­ро­го есть дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, то убы­ваю­щих по­сле­до­ва­тель­но­стей, об­ра­зо­ван­ных его эле­мен­та­ми, мо­жет быть очень мно­го, и ка­ж­дая из них име­ет свой пре­дел. Мы по­лу­ча­ем, что мно­же­ст­во име­ет столь­ко ак­ту­аль­ных ну­лей, сколь­ко су­ще­ст­ву­ет убы­ваю­щих по­сле­до­ва­тель­но­стей, со­став­лен­ных из его эле­мен­тов! Фак­ти­че­ски в дан­ном слу­чае из «оп­ре­де­ле­ния» О.В.Ша­ры­по­ва сле­ду­ет, что ка­ж­дый эле­мент мно­же­ст­ва яв­ля­ет­ся его ак­ту­аль­ным ну­лем. Та­ким об­ра­зом, в ра­бо­те [3] кор­рект­ное оп­ре­де­ле­ние ак­ту­аль­но­го ну­ля от­сут­ст­ву­ет. Ре­аль­но же О.В.Ша­ры­пов, как уже от­ме­че­но вы­ше, осу­ще­ст­в­ля­ет про­стей­шее изо­морф­ное пре­об­ра­зо­ва­ние сис­те­мы по­ло­жи­тель­ных чи­сел с по­мо­щью сдви­га пра­вой по­лу­оси на ве­ли­чи­ну lpl впра­во и пе­ре­оп­ре­де­ле­ния со­от­вет­ст­вую­щим об­ра­зом опе­ра­ций сло­же­ния и ум­но­же­ния. Со­вре­мен­ная ма­те­ма­ти­ка, ра­зу­ме­ет­ся, не счи­та­ет но­вы­ми изо­морф­ные об­ра­зы из­вест­ных ал­геб­раи­че­ских сис­тем, по­сколь­ку дос­та­точ­но изу­чить свой­ст­ва толь­ко од­ной из изо­морф­ных сис­тем.

Об­ра­тим­ся к ра­бо­те [4]. В ней стро­ит­ся не­ко­то­рая «но­вая» ариф­ме­ти­ка, ко­то­рая, как счи­та­ют ее ав­то­ры, долж­на ле­жать в ос­но­ве со­вре­мен­ной тео­рии про­стран­ст­ва-вре­ме­ни. Пре­ж­де все­го о по­ня­тии фун­да­мен­таль­ной дли­ны. Как в [3], так и в [4] ска­за­но, что она ко­неч­на и ин­ва­ри­ант­на. В чем со­сто­ит свой­ст­во ин­ва­ри­ант­но­сти фун­да­мен­таль­ной дли­ны? В [3] об этом го­во­рит­ся не­сколь­ко ук­лон­чи­во и скла­ды­ва­ет­ся впе­чат­ле­ние, что точ­ное оп­ре­де­ле­ние от­кла­ды­ва­ет­ся до вне­се­ния не­об­хо­ди­мых уточ­не­ний в тео­рию от­но­си­тель­но­сти. В [4] име­ет­ся в ви­ду ло­ренц-ин­ва­ри­ант­ность. Но вся­кая ве­ли­чи­на, имею­щая фи­зи­че­скую раз­мер­ность дли­ны, мо­жет быть ин­ва­ри­ант­ной от­но­си­тель­но ло­рен­це­вых пре­об­ра­зо­ва­ний в том и толь­ко в том слу­чае, ес­ли эта ве­ли­чи­на рав­на ну­лю! Ав­то­ры тре­бу­ют, од­на­ко, что­бы фун­да­мен­таль­ная дли­на бы­ла от­лич­на от ну­ля. Мы при­хо­дим, та­ким об­ра­зом, к про­ти­во­ре­чию и, сле­до­ва­тель­но, в со­чи­не­ни­ях, ко­то­рые об­су­ж­да­ют­ся здесь, нет удов­ле­тво­ри­тель­но­го оп­ре­де­ле­ния по­ня­тия фун­да­мен­таль­ной дли­ны. Фак­ти­че­ски же в об­су­ж­дае­мых со­чи­не­ни­ях ис­поль­зу­ет­ся обыч­ная план­ков­ская дли­на, т.е. не­ко­то­рая по­сто­ян­ная, имею­щая раз­мер­ность дли­ны.

В ра­бо­те [4] стро­ит­ся не­ко­то­рая ариф­ме­ти­ка, ко­то­рая, как ут­вер­жда­ют ав­то­ры, яв­ля­ет­ся не­ар­хи­ме­до­вой и сво­бод­на от па­ра­док­сов, вы­ра­жае­мых из­вест­ны­ми апо­рия­ми Зе­но­на. Кон­ст­рук­ция, по­сред­ст­вом ко­то­рой по­лу­че­на эта но­вая ариф­ме­ти­ка, в ма­те­ма­ти­че­ском от­но­ше­нии аб­со­лют­но три­ви­аль­на и ожи­дать от нее ка­ких-ли­бо ка­че­ст­вен­ных про­ры­вов в ма­те­ма­ти­ке ли, в фи­зи­ке ли – нет ни­ка­ких ос­но­ва­ний.

Опи­шем эту ариф­ме­ти­ку, что не по­тре­бу­ет мно­го мес­та. Рас­смат­ри­ва­ет­ся мно­же­ст­во L чи­сел l > lpl, где lpl > 0 и есть фун­да­мен­таль­ная дли­на:         . Ина­че го­во­ря, L есть ин­тер­вал                  мно­же­ст­ва дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. Пусть  сть ото­бра­же­ние L на мно­же­ст­во всех по­ло­жи­тель­ных чи­сел     , оп­ре­де­лен­ное ус­ло­ви­ем (l) =llpl, 1  – об­рат­ное ото­бра­же­ние, то есть 1(r)=r+lpl для вся­ко­го r > 0. То­гда все опе­ра­ции, оп­ре­де­лен­ные в   , ав­то­ма­ти­че­ски пе­ре­но­сят­ся в мно­же­ст­во L. А имен­но, – по­ла­га­ем для про­из­воль­ных l1, l2  L, l1 l2 = 1[(l1)+(l2)] и, ана­ло­гич­но, l1  l2 = 1[(l1)×(l2)].  Ни­ка­кой но­вой ариф­ме­ти­ки при та­ком оп­ре­де­ле­нии опе­ра­ций в мно­же­ст­ве L не воз­ни­ка­ет. Ал­геб­раи­че­ская сис­те­ма (L, , ), то есть мно­же­ст­во L, на­де­лен­ное опе­ра­ция­ми  и  , изо­морф­но мно­же­ст­ву по­ло­жи­тель­ных чи­сел    . Вся­кое пред­ло­же­ние, вер­ное для мно­же­ст­ва     , ав­то­ма­ти­че­ски ока­зы­ва­ет­ся вер­ным и для мно­же­ст­ва L с опе­ра­ция­ми, оп­ре­де­лен­ны­ми в нем, как ука­за­но вы­ше. В ча­ст­но­сти, во­пре­ки ут­вер­жде­нию ав­то­ров, для мно­же­ст­ва L прин­цип Ар­хи­ме­да в этом мно­же­ст­ве вы­пол­ня­ет­ся так­же, как и в    . Все труд­но­сти, свя­зан­ные с апо­рия­ми Зе­но­на, ос­та­ют­ся в си­ле и для по­стро­ен­ной ав­то­ра­ми «но­вой» ариф­ме­ти­ки. За­ме­тим, кста­ти, что, во­пре­ки ут­вер­жде­нию ав­то­ров, ал­геб­раи­че­ская сис­те­ма (L, , ) не яв­ля­ет­ся по­лем, так как оно не об­ра­зу­ет груп­пы от­но­си­тель­но опе­ра­ции сло­же­ния. (В этой сис­те­ме нет от­ри­ца­тель­ных чи­сел.) По­че­му ариф­ме­ти­ка, по­стро­ен­ная в L ука­зан­ным спо­со­бом, яв­ля­ет­ся дис­крет­но-не­пре­рыв­ной и в чем со­сто­ит ее дис­крет­ность? По сво­им внут­рен­ним свой­ст­вам она ни­чем не от­ли­ча­ет­ся от мно­же­ст­ва    !

Мно­же­ст­во L=(lpl,  ) мо­жет ото­бра­жать­ся на мно­же­ст­во    бес­ко­неч­ным чис­лом спо­со­бов. Вы­би­рая в ка­че­ст­ве   ото­бра­же­ния, от­лич­ные от ука­зан­но­го вы­ше, мы смо­жем оп­ре­де­лить на L бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ариф­ме­тик, ко­то­рые, од­на­ко, все изо­морф­ны ариф­ме­ти­ке, за­дан­ной на мно­же­ст­ве   .

Ав­то­ры час­то ссы­ла­ют­ся на ра­бо­ту В.Л.Рва­че­ва [5]. В.Л.Рва­чев – до­воль­но из­вест­ный спе­циа­лист в об­лас­ти вы­чис­ли­тель­ной ма­те­ма­ти­ки, ака­де­мик НАН Ук­раи­ны. Фор­маль­но все про­де­лан­ные в ста­тье [5] вы­чис­ле­ния – пра­виль­ны. Од­на­ко, дан­ная ав­то­ром ин­тер­пре­та­ция по­лу­чен­ных им ре­зуль­та­тов оши­боч­на. Ни­ка­кой не­ар­хи­ме­до­вой ариф­ме­ти­ки в ней не по­строе­но, так что на­зва­ние ста­тьи вво­дит чи­та­те­ля в за­блу­ж­де­ние. Имен­но по­это­му ста­тья В.Л.Рва­че­ва рас­смат­ри­ва­ет­ся спе­циа­ли­ста­ми как до­сад­ное не­до­ра­зу­ме­ние, вы­зван­ное осо­бен­но­стя­ми при­ня­тия ра­бот к пуб­ли­ка­ции в «Док­ла­дах».

Со­дер­жа­ние этой ста­тьи мож­но пе­ре­ска­зать в очень не­мно­гих сло­вах. Она так­же ос­но­ва­на на ил­лю­зии, со­стоя­щей в по­пыт­ке по­лу­чить но­вые ал­геб­раи­че­ские свой­ст­ва ал­геб­раи­че­ской сис­те­мы, от­сут­ст­вую­щие в изо­морф­ной ей сис­те­ме. Вся­кий ин­тер­вал I=(a, b), где a < b, то есть со­во­куп­ность всех ве­ще­ст­вен­ных чи­сел x та­ких, что a < x < b, мо­жет быть вза­им­но­од­но­знач­но ото­бра­жен на мно­же­ст­во всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел    . Бо­лее то­го, это мож­но сде­лать бес­ко­неч­ным чис­лом спо­со­бов.

Пусть   :(a, b)   есть вза­им­но­од­но­знач­ное ото­бра­же­ние мно­же­ст­ва I на   , 1:    (a, b) – об­рат­ное ото­бра­же­ние, то есть та­кое, что для вся­ко­го x   I вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ст­во x= 1[ (x)]. Для про­из­воль­ных x, y    (a, b) оп­ре­де­лим опе­ра­ции     и    , по­ла­гая x   y= 1[(x)+(y)] и, ана­ло­гич­но, x   y=1[x)×(y)]. Вве­дем в I еще и от­но­ше­ние по­ряд­ка    по­сред­ст­вом со­гла­ше­ния: x  y в том и толь­ко в том слу­чае, ес­ли (x) < (y). Мы по­лу­чим в ре­зуль­та­те не­ко­то­рое упо­ря­до­чен­ное по­ле

 Ia=((a, b),  ,  ,  ). Это по­ле изо­морф­но по­лю дей­ст­ви­тель­ных чи­сел  . Лю­бое вы­ска­зы­ва­ние, вер­ное от­но­си­тель­но по­ля  , ав­то­ма­ти­че­ски ока­зы­ва­ет­ся вер­ным и для по­ля I  . Спра­вед­ли­вость это­го ут­вер­жде­ния сле­ду­ет из об­щих прин­ци­пов ма­те­ма­ти­че­ской ло­ги­ки. Фор­маль­ное до­ка­за­тель­ст­во за­ни­ма­ет не­сколь­ко строк. Кон­ст­рук­ция, как ви­дим, в точ­но­сти та же, что и в ра­бо­те [4].

В ра­бо­те [5] рас­смат­ри­ва­ет­ся слу­чай, ко­гда I есть ин­тер­вал (c, c). В ка­че­ст­ве функ­ции   , ото­бра­жаю­щей этот про­ме­жу­ток на мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных чи­сел   , мож­но взять, на­при­мер, лю­бую из функ­ций          . Ка­ж­дая из этих функ­ций не­пре­рыв­на и яв­ля­ет­ся стро­го воз­рас­таю­щей на про­ме­жут­ке (c, c) и при x   c стре­мит­ся к пре­де­лу, рав­но­му   , а при x    c име­ет пре­дел, рав­ный   . От­сю­да сле­ду­ет, что ка­ж­дая из них ото­бра­жа­ет про­ме­жу­ток (c, c) на мно­же­ст­во   . В.Л.Рва­чев ис­поль­зу­ет по­след­нюю функ­цию. В этом слу­чае опе­ра­ция сло­же­ния вы­ра­жа­ет­ся че­рез обыч­ные ариф­ме­ти­че­ские опе­ра­ции сле­дую­щим об­ра­зом:

                     . Эта фор­му­ла сов­па­да­ет с фор­му­лой сло­же­ния ско­ро­стей в спе­ци­аль­ной тео­рии от­но­си­тель­но­сти. Это слу­чай­ное сов­па­де­ние при­ве­ло ува­жае­мо­го ав­то­ра к мыс­ли, что при­ду­ман­ная им ариф­ме­ти­ка име­ет оп­ре­де­лен­ную цен­ность. Мо­жет быть, это и так, но тео­рия от­но­си­тель­но­сти здесь аб­со­лют­но не при­чем.

Упо­ря­до­чен­ное чи­сло­вое по­ле F на­зы­ва­ет­ся ар­хи­ме­до­вым, ес­ли вы­пол­не­но сле­дую­щее ус­ло­вие.  Ес­ли чис­ло a > 0, a     F, то для лю­бо­го x    F най­дет­ся на­ту­раль­ное чис­ло n та­кое, что x < na. Для то­го, что­бы до­ка­зать не­ар­хи­ме­до­вость ариф­ме­ти­ки, по­стро­ен­ной В.Л.Рва­че­вым, со­глас­но это­му оп­ре­де­ле­нию – на­до ука­зать x     (c, c) и a, 0 < a < c, та­кие, что не­ра­вен­ст­во x < na не вы­пол­ня­ет­ся ни при ка­ком n. Здесь na есть ве­ли­чи­на, по­лу­чен­ная из a n-крат­ным при­ме­не­ни­ем опе­ра­ции      , na=a   a   a   ...    a (n сла­гае­мых.) Та­кие x и a > 0 в про­ме­жут­ке (c, c) най­ти не­воз­мож­но – по той при­чи­не, что их нет в мно­же­ст­ве   . В.Л.Рва­чев счи­та­ет, что по­ле ((c, c),   ,  ,   ) – не­ар­хи­ме­до­во, так как na < c, как бы ни бы­ло вы­бра­но a > 0. Де­ло, од­на­ко, в том, что чис­ло c не яв­ля­ет­ся эле­мен­том про­ме­жут­ка (c, c)!

Мне мо­гут воз­ра­зить, что ра­бо­ты О.В.Ша­ры­по­ва от­но­сят­ся к фи­ло­со­фии, ос­нов­ные по­ня­тия ко­то­рой, в си­лу сво­ей общ­но­сти, име­ют рас­плыв­ча­тые очер­та­ния и не до­пус­ка­ют та­ких точ­ных оп­ре­де­ле­ний, к ка­ким при­вык­ли ма­те­ма­ти­ки, что не­пра­виль­но пе­ре­но­сить тре­бо­ва­ния, обыч­ные для ма­те­ма­ти­че­ских ис­сле­до­ва­ний, на ра­бо­ты фи­ло­соф­ско­го со­дер­жа­ния. На это я мо­гу от­ве­тить толь­ко, что, – как учи­ли ме­ня ко­гда-то, – ис­ти­на все­гда кон­крет­на. В дан­ном слу­чае ав­тор пре­тен­ду­ет на не­ко­то­рое ма­те­ма­ти­че­ское от­кры­тие. Эпо­ха ди­ле­тан­тов дав­но про­шла и в наш XXI-й век – что­бы изо­брес­ти что-то дель­ное, не­об­хо­ди­мо сво­бод­но вла­деть со­вре­мен­ным ин­ст­ру­мен­та­ри­ем нау­ки хо­тя бы в той уз­кой об­лас­ти, ко­то­рая Вас ин­те­ре­су­ет.

С по­мо­щью рас­су­ж­де­ний в сти­ле «ак­ту­аль­ный нуль пред­став­ля­ет со­бой диа­лек­ти­че­ское един­ст­во бы­тия и не­бы­тия» ни­ка­ких от­кры­тий в об­лас­ти ма­те­ма­ти­ки и фи­зи­ки сде­лать не уда­лось и не уда­ст­ся. В этом суть спра­вед­ли­вой кри­ти­ки, вы­ска­зан­ной С.C.Ку­та­те­лад­зе в ад­рес фи­ло­со­фов, пы­таю­щих­ся ре­шать псев­до­на­уч­ны­ми ме­то­да­ми про­бле­мы ма­те­ма­ти­ки и фи­зи­ки.

На ос­но­ва­нии ска­зан­но­го, я при­шел к сле­дую­ще­му мне­нию.

Пер­вое. Как бы ни бы­ла не­при­ят­на док­то­ру фи­ло­соф­ских на­ук О.В.Ша­ры­по­ву кри­ти­ка его ста­тей «Фун­да­мен­таль­ная дли­на: яв­ле­ние и сущ­ность» и «О воз­мож­но­сти объ­е­ди­не­ния свойств ин­ва­ри­ант­но­го по­коя и от­но­си­тель­но­го дви­же­ния на ос­но­ве но­вой мо­де­ли про­стран­ст­ва с ми­ни­маль­ной дли­ной», по су­ще­ст­ву про­фес­сор С.С.Ку­та­те­лад­зе прав. При этом ни о ка­ком «за­ка­зе» этой кри­ти­ки не мо­жет быть и ре­чи.

Вто­рое. Мне пред­став­ля­ет­ся, что док­то­ру фи­ло­соф­ских на­ук О.В.Ша­ры­по­ву не­об­хо­ди­мо пе­ре­ос­мыс­лить свои за­ня­тия ма­те­ма­ти­кой и пол­но­стью со­гла­сить­ся со спра­вед­ли­вой кри­ти­кой по су­ще­ст­ву, вы­ска­зан­ной спе­циа­ли­стом-ма­те­ма­ти­ком, док­то­ром фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ских на­ук, про­фес­со­ром С.С.Ку­та­те­лад­зе.

Третье. Ду­маю, что бы­ло бы пра­виль­ным, ес­ли бы Ин­сти­тут фи­ло­со­фии и пра­ва СО РАН де­за­вуи­ро­вал ин­фор­ма­цию об «от­кры­тии» ак­ту­аль­но­го ну­ля, вклю­чен­ную в чис­ло важ­ней­ших дос­ти­же­ний Си­бир­ско­го от­де­ле­ния РАН за 1998 год, при­няв этот слу­чай, как не­до­ра­зу­ме­ние.

 

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ку­та­те­лад­зе С.С. Ак­ту­аль­ный нуль // Фи­ло­со­фия нау­ки. – 2004. - № 2 (21). – С. 121–123.

[2] Ша­ры­пов О.В. Фун­да­мен­таль­ная дли­на – фи­зи­че­ский ре­фе­рент ак­ту­аль­но­го ну­ля // Фи­ло­со­фия нау­ки. – 2004. - № 2 (21). – С. 124–150.

[3] Ша­ры­пов О.В. Фун­да­мен­таль­ная дли­на: яв­ле­ние и сущ­ность. – Ин­тер­нет.

[4] Ко­ру­хов В.В., Ша­ры­пов О.В. О воз­мож­но­сти объ­е­ди­не­ния свойств ин­ва­ри­ант­но­го по­коя и и от­но­си­тель­но­го дви­же­ния на ос­но­ве но­вой мо­де­ли про­стран­ст­ва с ми­ни­маль­ной дли­ной. – Ин­тер­нет.

[5] Рва­чев В.Л. Не­ар­хи­ме­до­ва ариф­ме­ти­ка и дру­гие кон­ст­рук­тив­ные сред­ст­ва ма­те­ма­ти­ки, ос­но­ван­ные на иде­ях спе­ци­аль­ной тео­рии от­но­си­тель­но­сти // Док­ла­ды АН СССР. – 1991. - Т. 51, 4. – С. 884 – 889.